微分係数の定義を利用した極限値の求値問題について見ていきます。
①\(f'(a)=\displaystyle\lim_{b \to a}\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
または
②\(f'(a)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)
①の\(b\)を\(x\)に変えた式もよく使います。
(例題)
関数 \(y=f(x)\)において、微分係数 \(f'(a)\) が存在するとき、次の極限値を \(a\), \(f(a)\), \(f'(a)\) の中から必要なものを用いて表せ。
(1)\(\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{f(a+2h)-f(a)}{h}\)
(2)\(\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{f(a+5h)-f(a-2h)}{h}\)
(3)\(\displaystyle\lim_{x \to a}\displaystyle\frac{x^2f(x)-a^2f(a)}{x^2-a^2}\)
(解答)
(1)
微分係数はもともと \(\displaystyle\frac{yの変化量}{xの変化量}\) を考えているので、これに沿うようにするためには、\(x\)の変化量を\(2h\)にする必要があるからです。
\(\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{f(a+2h)-f(a)}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{f(a+2h)-f(a)}{2h}×2\) (調節のために2倍をする)
\(=f'(a)×2\)
\(=2f'(a)\)
(2)
\(\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{f(a+5h)-f(a-2h)}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{f(a+5h)-f(a)+f(a)-f(a-2h)}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}\{\displaystyle\frac{f(a+5h)-f(a)}{h}-\displaystyle\frac{f(a-2h)-f(a)}{h}\}\)
\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}\{5×\displaystyle\frac{f(a+5h)-f(a)}{5h}+2×\displaystyle\frac{f(a-2h)-f(a)}{-2h}\}\)
\(=5f'(a)+2f'(a)\)
\(=7f'(a)\)
(3)
\(\displaystyle\lim_{x \to a}\displaystyle\frac{x^2f(x)-a^2f(a)}{x^2-a^2}\)
\(=\displaystyle\lim_{x \to a}\displaystyle\frac{x^2f(x)-x^2f(a)+x^2f(a)-a^2f(a)}{x^2-a^2}\)
\(=\displaystyle\lim_{x \to a}[\displaystyle\frac{x^2\{f(x)-f(a)\}}{x^2-a^2}+\displaystyle\frac{(x^2-a^2)f(a)}{x^2-a^2}]\)
\(=\displaystyle\lim_{x \to a}\{\displaystyle\frac{x^2}{x+a}\cdot\displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a}+f(a)\}\)
\(=\displaystyle\frac{a^2}{2a}f'(a)+f(a)\)
\(=\displaystyle\frac{a}{2}f'(a)+f(a)\)
以上になります。お疲れ様でした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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