導関数

整式の微分について考えていきます。

 

・導関数
関数 \(f(x)=x^2\) の \(x=a\) における微分係数\(f'(a)\)は

\(f'(a)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)・・・①

\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{(a+h)^2-a^2}{h}\)

\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{2ah+h^2}{h}\)

\(=2a\)

となりますが、\(f'(a)=2a\) は、\(a\)の値が変化すると\(f'(a)\)の値も変化するので、\(f'(a)\)は\(a\)の関数とみることができます。

 

そこで、①において\(a\)を変数\(x\)に置き換えると

\(f'(x)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)・・・②

であり、\(f'(x)\) は\(x\)の関数となります。この\(f'(x)\)を\(f(x)\)の導関数とよび、\(f(x)\)から導関数\(f'(x)\)を求めることを、「\(f(x)\)を(\(x\)について)微分する」といいます。

関数\(y=f(x)\)の導関数を表す記号として、\(f'(x)\)はよく使われますが、他にも

\(y’\),  \(\displaystyle\frac{dy}{dx}\),  \(\displaystyle\frac{d}{dx}f(x)\)

なども用いられます。

\(\displaystyle\frac{d}{dx}\) は「\(x\)で微分する」という意味を表す記号です。

 

また、②式の分母は \(x\)の変化量であり、分子は\(y\)の変化量なので、これらを\(x\)の増分\(y\)の増分とし、それぞれを記号 \(Δx\), \(Δy\) で表すと、(\(Δ\)はデルタと読む)

\(h=Δx\)
\(f(x+h)-f(x)=Δy\)

より、導関数は②から次のようにも表されます。

\(f'(x)=\displaystyle\lim_{Δx \to 0}\displaystyle\frac{Δy}{Δx}=\displaystyle\lim_{Δx \to 0}\displaystyle\frac{f(x+Δx)-f(x)}{Δx}\)

\(x\)の導関数 \(\displaystyle\frac{dy}{dx}\)(\(dy÷dx\)ではない) は \(\displaystyle\frac{Δy}{Δx}(=Δy÷Δx)\) とは異なるものです。
(関係式は \(\displaystyle\frac{dy}{dx}=\lim_{Δx \to 0}\displaystyle\frac{Δy}{Δx}\) となります)

 

 

・整式の導関数
毎回微分の定義を用いて導関数を求めるのは大変なので(もちろん定義を用いて求めることができるようにはしておく)、整式一般について導関数がどうなるかを考えてみます。

\(f(x)=x^n\) (\(n\)は自然数) において

\(f'(x)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)

\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{(x+h)^n-x^n}{h}\)・・・③

ここで2項定理より
\((x+h)^n=x^n+{}_n\mathrm{C}_1x^{n-1}h+(hについて2次以上の項)\)
だから、
\((x+h)^n=x^n+{}_n\mathrm{C}_1x^{n-1}h+Th^2\)
とおけて (\(n=1\) のときは \(T=0\) とすればよい)

\(f'(x)\)\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{x^n+{}_n\mathrm{C}_1x^{n-1}h+Th^2-x^n}{h}\)

\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}({}_n\mathrm{C}_1x^{n-1}+Th)\)

\(=nx^{n-1}\)

\(x\)の指数を前にだして、次数を1つ減らすだけです。

 

また、定数関数 \(f(x)=k\) については

\(f'(x)\)\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)

\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{k-k}{h}\)・・・④

\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}0\)

\(=0\)

 

(整式の微分)
\((x^{n})’=nx^{n-1}\) (\(n\)は自然数)
\((k)’=0\) (\(k\)は定数)

 

 

定数関数だから変化量がないので、微分係数が\(0\)になるのは当然です。
また、\(\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{0}{h}\)・・・④ は不定形ではありません。不定形は 分母→0 のとき 分子→0 (分子が0に近づく)であって、④の分子は\(0\)そのものです。

 

 

・導関数の性質
導関数の和(差)・定数倍について次の公式が成り立ちます。

\(u(x),v(x)\) を\(x\)の関数、\(k,l\) を定数とすると
(1)\((ku)’=ku’\)
(2)\((u±v)’=u’±v’\)
(1)(2)をまとめると
\((ku+lv)’=ku’+lv’\)

いずれもそれぞれの導関数を求めて、定数倍や和(差)をとればよいという当たり前のような公式です。ただし、積や商については別の公式になり(どちらも数Ⅲの範囲)、積だけは有用なので次回扱いたいと思います。

(証明)
(1)
\((ku)’\)

\(=\displaystyle\lim_{Δx \to 0}\displaystyle\frac{k\cdot u(x+Δx)-k\cdot  u(x)}{Δx}\)

\(=\displaystyle\lim_{Δx \to 0}k\cdot\displaystyle\frac{u(x+Δx)-u(x)}{Δx}\)

\(=ku’\)

(2)
\((u+v)’\)

\(=\displaystyle\lim_{Δx \to 0}\displaystyle\frac{u(x+Δx)+v(x+Δx)-\{u(x)+v(x)\}}{Δx}\)

\(=\displaystyle\lim_{Δx \to 0}\{\displaystyle\frac{u(x+Δx)-u(x)}{Δx}+\displaystyle\frac{v(x+Δx)-v(x)}{Δx}\}\)

\(=u’+v’\)

(差のほうも同様)

(3)
(2)(1)より
\((ku+lv)’=(ku)’+(lv)’=ku’+lv’\)

 

複数項があっても、\((ku+lv)’=ku’+lv’\) を何度も使うことで、項別に微分してよいことが分かります。

 

 

 

(例題)次の関数を微分せよ。
(1)\(y=3x^2-5x+6\)
(2)\(y=x^4-4x^3+3x^2-2x+1\)
(3)\(y=x^6-2x^5-3x^4\)

 

 

項ごとに微分します。

(1)
\(y=3x^2-5x+6\) において
\(y’=3\cdot2x-5\cdot 1x^{0}+0\)\(=6x-5\)

(2)
\(y=x^4-4x^3+3x^2-2x+1\) において
\(y’=4x^3-4\cdot3x^2+3\cdot2x-2\cdot1x^{0}+0\)
\(=4x^3-12x^2+6x-2\)

(3)
\(y=x^6-2x^5-3x^4\) において
\(y’=6x^5-10x^4-12x^3\)

 

 

 

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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