積・累乗の微分について学んでいきます。
例えば次の例題について考えてみます。
(1)\(y=(x^2+3)(x^2-2x-3)\)
(2)\(y=(2x-1)^3\)
もちろんどちらも展開して微分しても解けますが、積の微分や累乗の微分を知っていると楽です。
(1)
\(y’\)\(=(2x)(x^2-2x-3)+(x^2+3)(2x-2)\)
\(=2x^3-4x^2-6x+2x^3-2x^2+6x-6\)
\(=4x^3-6x^2-6\)
(2)
\(y’=3(2x-1)^2\cdot2=6(2x-1)^2\)
また微分に関する定理の証明や、積分を楽に行うためにも必要になってくるので、積・累乗の微分についてその公式や証明について見ていきます。
・積の微分・累乗の微分
微分可能な関数 \(y=f(x)\), \(y=g(x)\) について次の等式が成り立ちます。
(1)\(\{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)
(2)\([\{f(x)\}^n]’=n\{f(x)\}^{n-1}f'(x)\) (\(n\)は自然数)
とくに、\(f(x)\) が1次式のとき
(2-1)\(\{(ax+b)^n\}’=n(ax+b)^{n-1}\cdot a\)
積の微分(1)は、(微分)×(そのまま)+(そのまま)(微分) で
累乗の微分(2),(2-1)は、整式のときと同様に\(n\)倍して次数を1つ減らし、さらに中身の微分を掛けます。
(証明)
(1)
\(\{f(x)g(x)\}’\)
\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{f(x+h)g(x+h)\color{blue}{-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)}-f(x)g(x)}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}\{\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot g(x+h)+ f(x)\cdot\displaystyle\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\}\)
\(=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)
(2)
\([\{f(x)\}^2]’=f'(x)f(x)+f(x)f'(x)=2f(x)f'(x)\)
3乗は、2乗の微分を利用すると
\([\{f(x)\}^3]’=[\{f(x)\}^2]’f(x)+\{f(x)\}^2f'(x)=3\{f(x)\}^2f'(x)\)
以下1つ次数の低い導関数が分かれば次の導関数が求まるので帰納法を使って証明します。
\([\{f(x)\}^n]’=n\{f(x)\}^{n-1}f'(x)\)・・・(2) について
①\(n=1\) のとき
(左辺)\(=f'(x)\)
(右辺)\(=f'(x)\) で成立
②\(n=k\) のとき(2)が成り立つと仮定する。
\([\{f(x)\}^{k+1}]’\)
\(=[\{f(x)\}^{k}\cdot f(x)]’\)
\(=[\{f(x)\}^{k}]’f(x)+\{f(x)\}^{k}f'(x)\) (積の微分より)
\(=\color{blue}{k\{f(x)\}^{k-1}f'(x)}f(x)+\{f(x)\}^{k}f'(x)\) (仮定より)
\(=(k+1)\{f(x)\}^{k}f'(x)\)
よって \(n=k+1\) でも成立する。
以上①②よりすべての自然数\(n\)で(2)は成立する。
(2-1)
(2)で \(f(x)=ax+b\) とすれば、\(f'(x)=a\) より
\(\{(ax+b)^n\}’=n(ax+b)^{n-1}\cdot a\)
(例題)(1)～(3)は微分せよ。(4)は極限値を求めよ。
(1)\(y=(x^2+3)(x^2-2x-3)\)
(2)\(y=(2x-1)^3\)
(3)\(y=(2x-1)^2(x+4)\)
(4)\(\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle\frac{x^{n}-1}{x-1}\)
(解答)
(1)
\(y=(x^2+3)(x^2-2x-3)\) において
\(y’=(2x)(x^2-2x-3)+(x^2+3)(2x-2)\)
\(=2x^3-4x^2-6x+2x^3-2x^2+6x-6\)
\(=4x^3-6x^2-6\)
(2)
\(y=(2x-1)^3\) において
\(y’=3(2x-1)^2\cdot2\)\(=6(2x-1)^2\)
(3)
\(y=(2x-1)^2(x+4)\) において
\(y’=2(2x-1)\cdot2(x+4)+(2x-1)^2\cdot1\)
\(=(2x-1)\{4(x+4)+(2x-1)\}\)
\(=3(2x-1)(2x+5)\)
(4)
(解法1)微分の定義の利用
\(f(x)=x^n\) とおくと \(f'(x)=nx^{n-1}\)
\(\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle\frac{x^{n}-1}{x-1}\)
\(=\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\)
\(=f'(1)\)
\(=n\)
(解法2)因数分解の利用
\(\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle\frac{x^{n}-1}{x-1}\)
\(=\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle\frac{(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots +x+1)}{x-1}\)
\(=\displaystyle\lim_{x \to 1}(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots +x+1)\) (全部で\(n\)項)
\(=1+1+\cdots+1\)
\(=n\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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