接線の基礎①

これから接線に関する分野を扱っていきますが、微分を利用したグラフの描き方を知っておくと問題が捉えやすくなると思います。(知らなくても問題は解けます)

 

・接線の方程式
関数 \(y=f(x)\) 上の 点\(A(a,f(a))\) における微分係数 \(f'(a)\) は、点\(A\)における接線の傾きを表していました(定義)。

点\(A\)における接線は、「傾き\(f'(a)\)で \((a,f(a))\) を通る直線」なので、その方程式は

\(y-f(a)=f'(a)(x-a)\)

接線の方程式 図

 

以前にも話しましたが、「点\(A\)における接線」と「点\(A\)を通る接線」は異なるものです。点\(A\)における接線は上記のように、微分係数が\(f'(a)\)である必要がありますが、点\(A\)を通る接線は、接線である限り点\(A\)を通りさえすればよいです(もちろん点\(A\)における接線であってもよい)。例題3で具体的に扱っていくのでそちらを参照してください。

 

 

(例題1)
関数 \(y=x^3-4x\)・・・① において

(1) ①上の点\((1,-3)\) における接線の方程式を求めよ。
(2) 傾きが\(-1\)である接線の方程式を求めよ。

 

 

(解答)
(1)
\(y’=3x^2-4\) より

\((1,-3)\)における微分係数は
\(y’=3-4=-1\)

よって接線の方程式は
\(y+3=-1(x-1)\)
\(y=-x-2\)

 

(2)
微分係数が \(-1\) だから
\(3x^2-4=-1\)
\(x^2=1\)
\(x=±1\) (接点の\(x\)座標)

\(x=1\) のとき  \(y=1-4=-3\)
\(x=-1\) のとき  \(y=-1+4=3\)

よって、\((1,-3)\) と \((-1,3)\) における接線の方程式を求めればよい。

\((1,-3)\) における接線の方程式は(1)より
\(y=-x-2\)

\((-1,3)\) における接線の方程式は
\(y-3=-(x+1)\)
\(y=-x+2\)

接線① 例題1

 

 

 

(例題2)
曲線 \(y=-x^3+3x^2-3x\) について、点\((3,-1)\) を通る接線の方程式を求めよ。

 

 

\(x=3\) を代入すると、\(y=-27+27-9=-9\) より、点\((3,-1)\) は曲線上の点ではありません。いわゆる曲線の外部から引いた接線の方程式を求める問題ですが、この問題の解法には定石があって、接点を \((t,f(t))\) とおくことです。

(解答)
\(y’=-3x^2+6x-3\)
接点を \((t,-t^3+3t^2-3t)\) とおくと、接線の方程式は

\(y-(-t^3+3t^2-3t)=(-3t^2+6t-3)(x-t)\)・・・①

①が\((3,-1)\) を通るので
\(-1-(-t^3+3t^2-3t)=(-3t^2+6t-3)(3-t)\)

整理して
\(t^3-6t^2+9t-4=0\)

この\(t\)の方程式を解きます(接点の\(x\)座標を求めるということです)。

\((t-1)^2(t-4)=0\)
よって
\(t=1,4\)

したがって①より接線の方程式は
\(t=1\) のとき
\(y+1=0\)
\(y=-1\)

\(t=4\) のとき
\(y+28=-27(x-4)\)
\(y=-27x+80\)

接線① 例題2

 

 

 

(例題3)
曲線 \(y=x^3\) 上の点\((1,1)\)を通る接線を求めよ。

 

 

\((1,1)\)を通る接線なので、\((1,1)\) における接線だけとは限りません。
この問題も例題2と同様に接点を\((t,f(t))\)とおきます。(曲線の外部にあるか曲線上にあるかの違いだけなので、本質的には同じ)

(解答)
\(y’=3x^2\)

接点を \((t,t^3)\) とおくと、接線の方程式は

\(y-t^3=3t^2(x-t)\)・・・①

①が \((1,1)\) を通るので
\(1-t^3=3t^2(1-t)\)

整理して
\(2t^3-3t^2+1=0\)
\((t-1)^2(2t+1)=0\)
\(t=1,-\displaystyle\frac{1}{2}\)

\(t=1\) のほうが、\((1,1)\) における接線になっています。

①より、接線の方程式は
\(t=1\) のとき
\(y-1=3(x-1)\)
\(y=3x-2\)

\(t=-\displaystyle\frac{1}{2}\) のとき
\(y+\displaystyle\frac{1}{8}=\displaystyle\frac{3}{4}(x+\displaystyle\frac{1}{2})\)
\(y=\displaystyle\frac{3}{4}x+\displaystyle\frac{1}{4}\)

接線① 例題3

 

 

 

 

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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