三角関数の導関数について見ていきます。
・三角関数の導関数
三角関数の導関数は次の通りです。
\((\tan x)’=\displaystyle\frac{1}{\cos^2x}(=1+\tan^2x)\)
また
\((\displaystyle\frac{1}{\tan x})’=-\displaystyle\frac{1}{\sin^2x}\{=-\left(1+\displaystyle\frac{1}{\tan^2x}\right)\}\)
(注)角\(x\)の単位はラジアン
(解説)
まず \(\sin x\) の導関数を、微分の定義と \(\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{\sin h}{h}=1\) を使って導きます。
\((\sin x)’=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{2\cos\displaystyle\frac{2x+h}{2}\sin\displaystyle\frac{h}{2}}{h}\) (和積の公式を利用した)
\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}\cos(x+\displaystyle\frac{h}{2})\cdot\displaystyle\frac{\sin\displaystyle\frac{h}{2}}{\displaystyle\frac{h}{2}}\)
\(=\cos x\)
次に \(\cos x\) の導関数は、同様に微分の定義を用いてもよいですが、\(\cos x\)を\(\sin\)に変換すると楽です。
\((\cos x)’=\{\sin(x+\displaystyle\frac{π}{2})\}’\)
\(=\cos(x+\displaystyle\frac{π}{2})\cdot1\) (合成関数の微分)
\(=-\sin x\)
そして、\(\tan x\) の導関数は、\(\sin x,\cos x\) の導関数を利用すると導くことができます。
\((\tan x)’=(\displaystyle\frac{\sin x}{\cos x})’\)
\(=\displaystyle\frac{(\sin x)’\cos x-\sin x(\cos x)’}{\cos^2x}\)
\(=\displaystyle\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{\cos^2x}\)
また、\(1+\tan^2x=\displaystyle\frac{1}{\cos^2x}\) より
\((\tan x)’=1+\tan^2x\) とも表せます。
さらに、\(\tan x\) の逆数の導関数については
\((\displaystyle\frac{1}{\tan x})’=(\displaystyle\frac{\cos x}{\sin x})’\)
\(=\displaystyle\frac{(\cos x)’\sin x-\cos x(\sin x)’}{\sin^2x}\)
\(=\displaystyle\frac{-\sin^2x-\cos^2x}{\sin^2x}\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{\sin^2x}\)
これも同様に \(1+\displaystyle\frac{1}{\tan^2x}=\displaystyle\frac{1}{\sin^2x}\) より
\((\displaystyle\frac{1}{\tan x})’=-\left(1+\displaystyle\frac{1}{\tan^2x}\right)\)
とも表せます。
(例題)次の関数を微分せよ。
(1)\(y=\sqrt[3]{1+\cos^2x}\)
(2)\(y=x^2\cos(\sqrt{2}x)\)
(3)\(y=\displaystyle\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}\)
(4)\(y=\sin(\sin^2x)\)
(解答)
(1)
\(y=\sqrt[3]{1+\cos^2x}\) より
\(y’=\displaystyle\frac{1}{3}(1+\cos^2x)^{-\frac{2}{3}}\cdot(1+\cos^2x)’\)
\(=\displaystyle\frac{1}{3}(1+\cos^2x)^{-\frac{2}{3}}\cdot2\cos x(-\sin x)\)
\(=-\displaystyle\frac{\sin2x}{3\sqrt[3]{(1+\cos^2x)^2}}\)
(2)
\(y=x^2\cos(\sqrt{2}x)\) より
\(y’=2x\cos(\sqrt{2}x)+x^2\{-\sin(\sqrt{2}x)\}\cdot\sqrt{2}\)
\(=2x\cos(\sqrt{2}x)-\sqrt{2}x^2\sin(\sqrt{2}x)\)
(3)
\(y=\displaystyle\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}\)
\(y’=\displaystyle\frac{(\sin x-\cos x)'(\sin x+\cos x)-(\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x)’}{(\sin x+\cos x)^2}\)
\(=\displaystyle\frac{(\cos x+\sin x)(\sin x+\cos x)-(\sin x-\cos x)(\cos x-\sin x)}{(\sin x+\cos x)^2}\)
\(=\displaystyle\frac{(\sin x+\cos x)^2+(\sin x-\cos x)^2}{(\sin x+\cos x)^2}\)
\(=\displaystyle\frac{2(\sin^2x+\cos^2x)}{(\sin x+\cos x)^2}\)
\(=\displaystyle\frac{2}{(\sin x+\cos x)^2}\)
(4)
\(y=\sin(\sin^2x)\)
(外側の関数は\(\sin\)、内側は\(\sin^2x\))
\(y’=\cos(\sin^2x)\cdot(\sin^2x)’\)
\(=\cos(\sin^2x)\cdot(2\sin x\cos x)\)
\(=\cos(\sin^2x)\cdot\sin2x\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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