\(e=\displaystyle\lim_{h \to 0}(1+h)^{\frac{1}{h}}\)
に関する極限について整理していきます。
・\(e\)に関する極限
\(e=\displaystyle\lim_{h \to 0}(1+h)^{\frac{1}{h}}\)・・・①
は、両側極限が一致して\(e\)に収束することを表しています。\(h \to +0\) と、\(h \to -0\) に分けて、\(x=\displaystyle\frac{1}{h}\) と変換すると①は次のように表すことができます。
\(e=\displaystyle\lim_{x \to \infty}(1+\displaystyle\frac{1}{x})^{x}=\displaystyle\lim_{x \to -\infty}(1+\displaystyle\frac{1}{x})^{x}\)・・・②
また、①の右辺について自然対数を考えると
\(\log(1+h)^{\frac{1}{h}}=\displaystyle\frac{\log(1+h)}{h}\)
となるので
\(\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{\log(1+h)}{h}=\)\(\log e=\)\(1\)・・・③
さらに③で、\(\log(1+h)=x\) と変換すると
\(h \to 0\) のとき \(x \to 0\)
また、\(e^x=1+h\) となるから、\(h=e^x-1\)
よって③は
\(\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{x}{e^x-1}=\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{e^x-1}{x}}=1\)
となるので、次の等式が成り立ちます。
\(\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{e^x-1}{x}=1\)・・・④
①\(e=\displaystyle\lim_{h \to 0}(1+h)^{\frac{1}{h}}\)
②\(e=\displaystyle\lim_{x \to \infty}(1+\displaystyle\frac{1}{x})^{x}=\displaystyle\lim_{x \to -\infty}(1+\displaystyle\frac{1}{x})^{x}\)
③\(\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{\log(1+h)}{h}=1\)
④\(\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{e^x-1}{x}=1\)
(③④は逆数になっていてもよい)
なお、③④は微分の定義を用いても導くことができます。
③は \(f(x)=\log x\) について、\(\log 1=0\) より
\(\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{\log(1+h)}{h}=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{\log(1+h)-\log1}{h}=f'(1)\)
となるから、\(f'(x)=\displaystyle\frac{1}{x}\) より
\(\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{\log(1+h)}{h}=1\)
④も同様に \(g(x)=e^x\) とすると
\(\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{e^x-1}{x}=\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{e^x-e^0}{x-0}=g'(0)\)
となるから、\(g'(x)=e^x\) より
\(\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{e^x-1}{x}=1\)
(例題1)次の極限値を求めよ。
(1)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(1-\displaystyle\frac{1}{2n})^{n+2}\)
(2)\(\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{\log(1+5h+6h^2)}{h}\)
(3)\(\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{e^x+x-1}{\sin x}\)
(解答)
(1)
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(1-\displaystyle\frac{1}{2n})^{n+2}\)
\(-\displaystyle\frac{1}{2n}=h\) とおくと、\(h \to -0\) となるから
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(1-\displaystyle\frac{1}{2n})^{n+2}\)
\(=\displaystyle\lim_{h \to -0}(1+h)^{-\frac{1}{2h}+2}\)
\(=\displaystyle\lim_{h \to -0}\displaystyle\frac{1}{\{(1+h)^\frac{1}{h}\}^{\frac{1}{2}}}\cdot(1+h)^2\)
\(=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{e}}\)
(参考)
このタイプの極限は、\((1+△)^{□}\) について \(△×□\) を計算して、これを\(e\)の指数にすることで求めることができます。本問では、\(e^{-\frac{1}{2n}\cdot n}=e^{-\frac{1}{2}}\) です。(定数部分は \((1-\displaystyle\frac{1}{2n})^{2} \to 1\) に収束します)
(2)
\(\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{\log(1+5h+6h^2)}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{\log(1+5h+6h^2)}{5h+6h^2}\cdot\displaystyle\frac{5h+6h^2}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{\log(1+5h+6h^2)}{5h+6h^2}\cdot(5+6h)\)
\(=1\cdot(5+0)\)
\(=5\)
(3)
\(\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{e^x+x-1}{\sin x}\)
\(=\displaystyle\lim_{x \to 0}(\displaystyle\frac{x}{\sin x}+\displaystyle\frac{e^x-1}{\sin x})\)
\(=\displaystyle\lim_{x \to 0}(\displaystyle\frac{x}{\sin x}+\displaystyle\frac{e^x-1}{x}\cdot\displaystyle\frac{x}{\sin x})\)
\(=1+1\cdot1\)
\(=2\)
(例題2)
\(n\)を自然数とする。つぼの中に、\(1\)の数字を書いた玉が\(1\)個、\(2\)の数字を書いた玉が\(1\)個、\(3\)の数字を書いた玉が\(1\)個、・・・、\(n\)の数字を書いた玉が\(1\)個、合計\(n\)個の玉が入っている。つぼから無作為に玉を\(1\)個とり出し、書かれた数字を見て、もとに戻す試行を\(n\)回行う。
(1)試行を\(n\)回行ったとき、\(k\)の数字が書かれた玉をちょうど\(k\)回とり出す確率を\(p_k\)とする。\(p_k\)を\(k\)の式で表せ。ただし、\(k=1,2,3,\cdots,n\) とする。
(2) (1)で求めた \(p_1,p_2,p_3,\cdots,p_n\) について
\(q_n=2p_1+2^2p_2+2^3p_3+\cdots+2^np_n\)
とおく。この\(q_n\)について、極限 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}q_n\) の値を求めよ。
(解答)
(1)
1回の試行で\(k\)の玉を取り出す確率は \(\displaystyle\frac{1}{n}\)、それ以外の玉を取り出す確率は \(\displaystyle\frac{n-1}{n}\)
\(n\)回の試行で、\(k\)の玉をちょうど\(k\)回取り出すとき、それ以外の玉を取り出す回数は \(n-k\) 回となるから
\(p_k={}_n\mathrm{C}_k(\displaystyle\frac{1}{n})^k(1-\displaystyle\frac{1}{n})^{n-k}\)
(2)
(まず\(q_n\)を求めると)
\(q_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}2^kp_k\)
\(=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}2^k\cdot{}_n\mathrm{C}_k(\displaystyle\frac{1}{n})^k(1-\displaystyle\frac{1}{n})^{n-k}\)
\(=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{}_n\mathrm{C}_k(\displaystyle\frac{2}{n})^k(1-\displaystyle\frac{1}{n})^{n-k}\)・・・①
\((a+b)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}{}_n\mathrm{C}_ka^kb^{n-k}\)
の右辺から左辺の変形を使います。ただし、\(k=0\) スタートにする必要があるので、①で\(k=0\)スタートにして、余分なものを調整します。
\(=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}{}_n\mathrm{C}_k(\displaystyle\frac{2}{n})^k(1-\displaystyle\frac{1}{n})^{n-k}-{}_n\mathrm{C}_0(\displaystyle\frac{2}{n})^0(1-\displaystyle\frac{1}{n})^{n-0}\)
\(=\left\{(\displaystyle\frac{2}{n})+(1-\displaystyle\frac{1}{n})\right\}^n-(1-\displaystyle\frac{1}{n})^{n}\)
\(=(1+\displaystyle\frac{1}{n})^n-(1-\displaystyle\frac{1}{n})^{n}\)
したがって
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}q_n\)
\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left\{(1+\displaystyle\frac{1}{n})^n-(1-\displaystyle\frac{1}{n})^{n}\right\}\)
であり、1項目は \((1+\displaystyle\frac{1}{n})^n \to e\)
2項目については、\(-\displaystyle\frac{1}{n}=h\) とおいて
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(1-\displaystyle\frac{1}{n})^{n}=\displaystyle\lim_{h \to -0}(1+h)^{-\frac{1}{h}}\)
\(=\displaystyle\lim_{h \to -0}\displaystyle\frac{1}{(1+h)^{\frac{1}{h}}}\)\(=\displaystyle\frac{1}{e}\)
となるから
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}q_n=e-\displaystyle\frac{1}{e}\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見ていただきありがとうございました。
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