微分の定義を利用する極限

微分の定義を利用する極限の例題です。

\(f'(a)=\displaystyle\lim_{x \to a}\displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)
または
\(f'(a)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)
です。

(例題1)次の極限値を求めよ。
(1)\(\displaystyle\lim_{x \to a}\displaystyle\frac{a^3\sin^3x-x^3\sin^3a}{x-a}\)

(2)\(\displaystyle\lim_{x \to a}\displaystyle\frac{x^p-a^p}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\)　(\(p>0\)、\(a>0\))

微分の定義を用いても解けますが、式変形して直接求めることもできます。

(1)
(微分の定義)

与式のままでは、分子は \(f(x)-f(a)\) の形をしていないので、欲しい項を加えて(除いて)、調整するという操作をします。

\(\displaystyle\lim_{x \to a}\displaystyle\frac{a^3\sin^3x-x^3\sin^3a}{x-a}\)

\(=\displaystyle\lim_{x \to a}\displaystyle\frac{a^3\sin^3x\color{blue}{-a^3\sin^3a+a^3\sin^3a}-x^3\sin^3a}{x-a}\)　(\(x^3\sin^3x\) でもよい)

\(=\displaystyle\lim_{x \to a}\left\{\displaystyle\frac{\sin^3x-\sin^3a}{x-a}\cdot a^3-\displaystyle\frac{x^3-a^3}{x-a}\cdot\sin^3a\right\}\)・・・①

\(f(x)=\sin^3x\)、\(g(x)=x^3\) とおくと
\(f'(x)=3\sin^2 x\cos x\)、\(g'(x)=3x^2\) だから

①\(=f'(a)\cdot a^3-g'(a)\cdot\sin^3a\)

\(=3a^3\sin^2a\cos a-3a^2\sin^3a\)

(直接計算)
①までは同じ

①\(=\displaystyle\lim_{x \to a}\left\{\displaystyle\frac{(\sin x-\sin a)(\sin^2x+\sin x\sin a+\sin^2a)}{x-a}\cdot a^3-\displaystyle\frac{(x-a)(x^2+xa+a^2)}{x-a}\cdot\sin^3a\right\}\)

(1項目は和積の公式を使うと)

\(=\displaystyle\lim_{x \to a}\left\{\displaystyle\frac{2\cos\displaystyle\frac{x+a}{2}\sin\displaystyle\frac{x-a}{2}}{x-a}\cdot(\sin^2x+\sin x\sin a+\sin^2a)\cdot a^3-(x^2+xa+a^2)\cdot\sin^3a\right\}\)

\(=\displaystyle\lim_{x \to a}\left\{\cos\displaystyle\frac{x+a}{2}\cdot\displaystyle\frac{\sin\displaystyle\frac{x-a}{2}}{\displaystyle\frac{x-a}{2}}\cdot(\sin^2x+\sin x\sin a+\sin^2a)\cdot a^3-(x^2+xa+a^2)\cdot\sin^3a\right\}\)

\(=\cos a\cdot1\cdot3\sin^2a\cdot a^3-3a^2\sin^3a\)

\(=3a^3\sin^2a\cos a-3a^2\sin^3a\)

微分の定義を利用する方法は、最終的には微分の公式を利用します。その微分の公式の導出は基本的には極限を直接計算して求めるので、別解の方法はその導出のような意味をもちます。したがって計算が面倒になることが多いです。

(2)
(微分の定義)
(\(p>0\)、\(a>0\))

\(\displaystyle\lim_{x \to a}\displaystyle\frac{x^p-a^p}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\)

\(=\displaystyle\lim_{x \to a}\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{x^p-a^p}{x-a}}{\displaystyle\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}}\)・・・②

\(f(x)=x^p\)、\(g(x)=\sqrt{x}\) とおくと
\(f'(x)=px^{p-1}\)、\(g'(x)=\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}\) だから

②\(=\displaystyle\frac{f'(a)}{g'(a)}\)\(=\displaystyle\frac{pa^{p-1}}{\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{a}}}\)

\(=pa^{p-1}\cdot2a^{\frac{1}{2}}\)

\(=2pa^{p-\frac{1}{2}}\)

(直接計算)
(有理化と因数分解していくと)
\(\displaystyle\lim_{x \to a}\displaystyle\frac{x^p-a^p}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\)

\(=\displaystyle\lim_{x \to a}\displaystyle\frac{x^p-a^p}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{x}+\sqrt{a}}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}\)

\(=\displaystyle\lim_{x \to a}\displaystyle\frac{x^p-a^p}{x-a}\cdot(\sqrt{x}+\sqrt{a})\)

\(=\displaystyle\lim_{x \to a}\displaystyle\frac{(x-a)(x^{p-1}+x^{p-2}a+\cdots+xa^{p-2}+a^{p-1})}{x-a}\cdot(\sqrt{x}+\sqrt{a})\)

\(=\displaystyle\lim_{x \to a}(x^{p-1}+x^{p-2}a+\cdots+xa^{p-2}+a^{p-1})\cdot(\sqrt{x}+\sqrt{a})\)

(積の1つ目は、\(p\)個の和になっているから)

\(=pa^{p-1}\cdot2\sqrt{a}\)

\(=2pa^{p-\frac{1}{2}}\)

(例題2)
(1)\(f(x)\)の \(x=1\) における微分係数が存在するとき、次の極限値を\(f(1)\)、\(f'(1)\) で表せ。
\(\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle\frac{f(x)-x^3f(1)}{x-1}\)

(2)微分可能な関数\(f(x)\)が \(f(0)=0\)、\(f'(0)=π\) を満たすとき、極限値
\(\displaystyle\lim_{θ \to 0}\displaystyle\frac{f(1-\cos2θ)}{θ^2}\)
を求めよ。

微分係数に関する条件があるので、微分の定義を利用します。

(解答)
(1)
\(\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle\frac{f(x)-x^3f(1)}{x-1}\)

\(=\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle\frac{f(x)\color{blue}{-f(1)+f(1)}-x^3f(1)}{x-1}\)

\(=\displaystyle\lim_{x \to 1}\left\{\displaystyle\frac{f(x)-f(1)}{x-1}-\displaystyle\frac{x^3-1}{x-1}\cdot f(1)\right\}\)

\(=\displaystyle\lim_{x \to 1}\left\{\displaystyle\frac{f(x)-f(1)}{x-1}-(x^2+x+1)\cdot f(1)\right\}\)

\(=f'(1)-3f(1)\)

(2)

関数の中身を \(x=1-\cos2θ\) とおきかえると分かりやすいです。

\(x=1-\cos2θ\) とおくと
\(θ \to 0\) のとき \(x \to 0\) だから

\(\displaystyle\lim_{θ \to 0}\displaystyle\frac{f(1-\cos2θ)}{θ^2}\)

\(=\displaystyle\lim_{θ \to 0,\ x \to 0}\displaystyle\frac{f(x)}{θ^2}\)

(\(f(0)=0\) より)

\(=\displaystyle\lim_{θ \to 0,\ x \to 0}\displaystyle\frac{f(x)-f(0)}{x}\cdot\displaystyle\frac{x}{θ^2}\)

\(=\displaystyle\lim_{θ \to 0,\ x \to 0}\displaystyle\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\cdot\displaystyle\frac{1-\cos2θ}{θ^2}\)

\(=\displaystyle\lim_{θ \to 0,\ x \to 0}\displaystyle\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\cdot\displaystyle\frac{2\sin^2θ}{θ^2}\)

\(=\displaystyle\lim_{θ \to 0,\ x \to 0}\displaystyle\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\cdot(\displaystyle\frac{\sinθ}{θ})^2\cdot2\)

\(=f'(0)\cdot1^2\cdot2\)

\(=2π\)

以上になります。お疲れ様でした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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