引き続き条件付き最大最小値に関する問題です。
今回は条件式が円周上の点である場合です。
(例題)
正の数 \(x,y\) が \(x^2+y^2=1\) を満たして変わるとき、\(x^5+y^5\) の値の範囲を求めよ。
そこで条件式が半径1の円(単位円)を表していることから、\(x=\cosθ\), \(y=\sinθ\) とおける(しかも1変数になる)ことに着目します。なお \(x,y\) が正の数なので、\(0<θ<90°\) です。
(解答)
正の数 \(x,y\) が \(x^2+y^2=1\) を満たしているので
\(x=\cosθ\), \(y=\sinθ\) (\(0<θ<90°\))
とおける。
(\(xy\)のほうを文字でおくと\(x+y\)がルートつきになり面倒)
最終的に \(x^5+y^5\) が\(t\) の関数になるので、\(t(=x+y)\) の範囲も求めておきます。
ここで
\(x+y=t\) とおくと
\(x^2+y^2=(x+y)^2-2xy\) より
\(1=t^2-2xy\)
\(xy=\displaystyle\frac{t^2-1}{2}\)
また、
\(t=\cosθ+\sinθ=\sqrt{2}\sin(θ+45°)\) より
\(45°<θ+45°<135°\) だから
\(1<t≦\sqrt{2}\)
よって
\(x^5+y^5\)
\(=\color{blue}{(x^3+y^3)}(x^2+y^2)-x^2y^2(x+y)\)
\(=\color{blue}{(x+y)(x^2-xy+y^2)}\cdot1-(xy)^2(x+y)\)
\(=t(1-\displaystyle\frac{t^2-1}{2})-(\displaystyle\frac{t^2-1}{2})^2\cdot t\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{4}t^5+\displaystyle\frac{5}{4}t\)
\(f(t)=-\displaystyle\frac{1}{4}t^5+\displaystyle\frac{5}{4}t\) (\(1<t≦\sqrt{2}\))
とおくと
\(f'(t)=\displaystyle\frac{5}{4}(1-t^4)\)
\(=\displaystyle\frac{5}{4}(1+t^2)(1-t^2)<0\) (\(∵ 1-t^2<0\))
したがって、\(f(t)\)は単調減少するから
\(f(\sqrt{2})≦f(t)<f(1)\)
\(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4}≦x^5+y^5<1\)
\(x^5+y^5\) は \(t(=x+y)\) の関数 として扱っているので、\(t=x+y\)の範囲を出すところを別の方法でやっても解答の内容に大差はないです。(例えば 4分の1円 (第1象限) と 直線 \(x+y=t\) の共有点をもつときを図示する、和と積 \(x+y\), \(xy\) から2次方程式が正の実数解をもつ条件を調べるなど)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
next→文章問題(最大・最小値) back→条件付き最大・最小値①