接線・法線の方程式

接線と法線の方程式について見ていきます。
内容は数ⅡBのときとほとんど同じです。

 

・接線の方程式

接線の傾き 

連続関数 \(y=f(x)\) において、曲線 \(y=f(x)\) 上に異なる2点\(A,B\) があるとき、点\(B\)を限りなく点\(A\)に近づけるとき、\(A,B\)を通る直線が限りなく近づく直線を\(l\)とします。
このとき、直線\(l\)を点\(A\)における接線、また点\(A\)を接点とよびます。

 

接線の方程式 図

ここで曲線 \(y=f(x)\) が微分可能なとき、\(A(a,f(a))\) と \(B(a+h,f(a+h))\) を通る直線の傾き(平均変化率)は

\(\displaystyle\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)

であり、微分係数の定義から

\(f'(a)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)

となるので、直線\(AB\)の傾きは限りなく\(f'(a)\)に近づきます。したがって、接線\(l\)の傾きは \(f'(a)\) であり、また接線\(l\)は 点\(A(a,f(a))\) を通ることから、その方程式は次のようになります。

(点\(A(a,f(a))\)における接線の方程式)
\(y-f(a)=f'(a)(x-a)\)

 

なお「点\(A\)における接線」と「点\(A\)を通る接線」は違うものですが、詳しくは (1-3)ある点を通る接線 のところで扱いたいと思います。簡単にまとめると、「点\(A\)における接線」は接点が\(A\)である接線で、「点\(A\)を通る接線」は点\(A\)を通りさえすればよいので、ほかの点における接線がたまたま\(A\)を通る場合でも、接点が\(A\)であってもどちらもでよいです。

 

 

 

・法線の方程式

接線・法線 1

曲線 \(y=f(x)\) 上の 点\(A(a,f(a))\) を通り、点\(A\)における接線と垂直である直線を「点\(A\)における法線」といいます。

よって、\(f'(a)≠0\) のときの法線の傾きは \(-\displaystyle\frac{1}{f'(a)}\) となるので、その方程式は次の通りです。

\(y-f(a)=-\displaystyle\frac{1}{f'(a)}(x-a)\)

また、\(f'(a)=0\) のときは 法線は点\(A\)を通る\(y\)軸に平行な直線になるので、その方程式は

\(x=a\)

です。

 

(注)微分係数が存在しない場合の注意点
\(y=\sqrt[3]{x}\)・・・① の \(O(0,0)\) における接線について考えてみる。

\(y’=\displaystyle\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\)
となり、\(x=0\) における微分係数は存在しないので、接線がないように思える。
しかし、\(x\)を\(y\)の関数とみると①より

\(x=y^3\)・・・②

となり、②を(\(y\)で)微分すると
\(x’=3y^2\)

したがって、\(y=0\) における微分係数は \(x’=0\) となる。よって \(x=g(y)=y^3\) の \(y=0\) における接線と法線の方程式は

接線:\(x-0=0(y-0)\)  つまり \(x=0\)・・・③
法線:\(y=0\)・・・④

となり、①②が同じ曲線を表すことから、接線は③、法線は④となる。

接線・法線2

このような現象がおこるのは、この例のように微分係数が無限大に発散する場合です。接線が\(y\)軸に平行になるので、\(y=\cdots\) の形で接線を表すことができません。(接線は \(x=(定数)\) の形になる)

 

 

 

(例題)
\(a\)は正の定数とする。
曲線 \(y=f(x)=\displaystyle\frac{1}{2a}(e^{ax}+e^{-ax})\)
上の2点 \(P(t,f(t))\)、\(Q(-t,f(-t))\) をとり、\(P,Q\)における接線の交点を\(R\)、法線の交点を\(S\)とする。\(t\)を限りなく\(0\)に近づけたとき、次の点が次第に近づく点の座標をそれぞれ求めよ。

(1)\(R\) (2)\(S\)

 

接線と法線の方程式を求めて、交点を出して、極限を考えるだけです。
グラフは必須ではないですが、書くと分かりやすくなると思います。(\(y\)軸対称になる)

(解答)
\(y=f(x)=\displaystyle\frac{1}{2a}(e^{ax}+e^{-ax})\)

\(f'(x)=\displaystyle\frac{1}{2a}(ae^{ax}-ae^{-ax})\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}(e^{ax}-e^{-ax})\)

(\(f'(x)=\displaystyle\frac{e^{2ax}-1}{2e^{ax}}\) より、
\(x>0\) のとき \(f'(x)>0\)、\(x<0\) のとき \(f'(x)<0\) からグラフが分かる)

(1)

接線・法線 例題1-1

\(P\)における接線の方程式は
\(y-\displaystyle\frac{1}{2a}(e^{at}+e^{-at})=\displaystyle\frac{e^{at}-e^{-at}}{2}(x-t)\)・・・①

\(Q\)における接線の方程式は
\(y-\displaystyle\frac{1}{2a}(e^{at}+e^{-at})=-\displaystyle\frac{e^{at}-e^{-at}}{2}(x+t)\)・・・②

①-②より
\(0=\displaystyle\frac{e^{at}-e^{-at}}{2}(x-t)+\displaystyle\frac{e^{at}-e^{-at}}{2}(x+t)\)

\(t\)を限りなく\(0\)に近づけるので、\(t≠0\)。
ゆえに \(e^{at}-e^{-at}≠0\) だから
\(0=(x-t)+(x+t)\)

よって交点\(R\)の\(x\)座標は
\(x=0\) (グラフの対称性からも分かる)

①に\(x=0\)を代入して
\(y-\displaystyle\frac{1}{2a}(e^{at}+e^{-at})=\displaystyle\frac{e^{at}-e^{-at}}{2}\cdot(-t)\)

よって交点\(R\)の\(y\)座標は
\(y=\displaystyle\frac{1}{2a}(e^{at}+e^{-at})-\displaystyle\frac{t(e^{at}-e^{-at})}{2}\)

\(R(0,\displaystyle\frac{1}{2a}(e^{at}+e^{-at})-\displaystyle\frac{t(e^{at}-e^{-at})}{2})\)

したがって \(t \to 0\) のとき
\(R \to (0,\displaystyle\frac{1+1}{2a}-\displaystyle\frac{0\cdot(1-1)}{2})\)

\(R\)の近づく点の座標は
\((0,\displaystyle\frac{1}{a})\)

 

(2)

接線・法線 例題1-2

\(P\)における法線の方程式は
\(y-\displaystyle\frac{1}{2a}(e^{at}+e^{-at})=-\displaystyle\frac{2}{e^{at}-e^{-at}}(x-t)\)・・・③

\(Q\)における法線の方程式は
\(y-\displaystyle\frac{1}{2a}(e^{at}+e^{-at})=\displaystyle\frac{2}{e^{at}-e^{-at}}(x+t)\)・・・④

④-③より
\(0=\displaystyle\frac{2}{e^{at}-e^{-at}}(x+t)+\displaystyle\frac{2}{e^{at}-e^{-at}}(x-t)\)

よって交点\(S\)の\(x\)座標は
\(x=0\) (これも対称性から分かる)

①に\(x=0\)を代入して整理すると、\(S\)の\(y\)座標は
\(y=\displaystyle\frac{1}{2a}(e^{at}+e^{-at})+\displaystyle\frac{2t}{e^{at}-e^{-at}}\)

\(S(0,\displaystyle\frac{1}{2a}(e^{at}+e^{-at})+\displaystyle\frac{2t}{e^{at}-e^{-at}})\)

\(y\)座標の2項目は、\(\displaystyle\frac{0}{0}\) の不定形です。
微分の定義を利用するか、\(\displaystyle\lim_{t \to 0}\displaystyle\frac{e^t-1}{t}=1\) を利用します。

ここで
\(\displaystyle\lim_{t \to 0}\displaystyle\frac{2t}{e^{at}-e^{-at}}\)

\(=\displaystyle\lim_{t \to 0}\displaystyle\frac{2}{\displaystyle\frac{e^{at}-e^{-at}}{t}}\)

\(=\displaystyle\lim_{t \to 0}\displaystyle\frac{2}{\displaystyle\frac{e^{at}-1+1-e^{-at}}{t}}\)

\(=\displaystyle\lim_{t \to 0}\displaystyle\frac{2}{\displaystyle\frac{e^{at}-1}{at}\cdot a+\displaystyle\frac{e^{-at}-1}{-at}\cdot a}\)

\(=\displaystyle\frac{2}{a+a}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{a}\)

したがって\(S\)は
\((0,\displaystyle\frac{1}{a}+\displaystyle\frac{1}{a})=\)\((0,\displaystyle\frac{2}{a})\)
に近づく。

 

 

 

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
next→陰関数・媒介変数表示と接線

タイトルとURLをコピーしました