平均値の定理と極限 | 教えて数学理科

平均値の定理を利用する極限の例題です。

(例題1)
\(\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{\sin x-\sin x^2}{x-x^2}\)　を求めよ。

\(f(x)=\sin x\) とすると
\(\displaystyle\frac{f(x)-f(x^2)}{x-x^2}\) となるので、平均値の定理が利用できます。
(微分の定義の式にも近いように見えますが、それだとうまくいかない)

(解答)
\(f(x)=\sin x\) とおくと
\(f'(x)=\cos x\)

\(x \to 0\) の極限を考えるので、\(x ≒ 0\) 。\(x=x^2\) の解は、\(x=0,1\) なので、\(x≠x^2\) となります。\(x=0\) 付近での \(x\) と \(x^2\) の大小は\(x\)の正負で変わりますが、解答では敢えて気にせずやっていきたい思います。(間に\(c\)があることは変わらない)

\(x \to 0\) の極限なので、\(x≒0\) としてよく、このとき \(x≠x^2\)

したがって平均値の定理から
\(\displaystyle\frac{\sin x-\sin x^2}{x-x^2}=\cos c\)
かつ
\(x<c<x^2\)　または　\(x^2<c<x\)

を満たす\(c\)が存在する。

ここで、\(x \to 0\) のとき不等式から \(c \to 0\) なので

\(\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{\sin x-\sin x^2}{x-x^2}\)\(=\displaystyle\lim_{c \to 0}\cos c\)

\(=1\)

(例題2)
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n(\log n)^2\left\{\sin\left(\displaystyle\frac{1}{\log n}\right)-\sin\left(\displaystyle\frac{1}{\log (n+1)}\right)\right\}\)
を、平均値の定理を利用して求めよ。

差の部分に平均値の定理を使います。

(解答)
\(f(x)=\sin x\) とおくと、
\(f'(x)=\cos x\)

\(\displaystyle\frac{1}{\log(n+1)}<\displaystyle\frac{1}{\log n}\) だから、平均値の定理より

\(\displaystyle\frac{\sin\left(\displaystyle\frac{1}{\log n}\right)-\sin\left(\displaystyle\frac{1}{\log (n+1)}\right)}{\displaystyle\frac{1}{\log n}-\displaystyle\frac{1}{\log(n+1)}}=\cos c\)・・・①

\(\displaystyle\frac{1}{\log(n+1)}<c<\displaystyle\frac{1}{\log n}\)・・・②

を満たす\(c\)が存在する。
②より \(n \to \infty\) のとき、\(c \to 0\) だから

\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n(\log n)^2\left\{\sin\left(\displaystyle\frac{1}{\log n}\right)-\sin\left(\displaystyle\frac{1}{\log (n+1)}\right)\right\}\)

\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty,\ c \to 0}n(\log n)^2\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{\log n}-\displaystyle\frac{1}{\log(n+1)}\right)\cdot\cos c\)

\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty,\ c \to 0}n\log n\cdot\displaystyle\frac{\log (n+1)-\log n}{\log(n+1)}\cdot\cos c\)

\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty,\ c \to 0}\displaystyle\frac{\log n}{\log(n+1)}\cdot n\log(\displaystyle\frac{n+1}{n})\cdot\cos c\)

\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty,\ c \to 0}\displaystyle\frac{\log n}{\log(n+1)}\cdot \log(1+\displaystyle\frac{1}{n})^n\cdot\cos c\)

積の1つ目については、\(n \to \infty\) のとき \(\log(n+1)≒\log n\) なので、\(1\)に収束することが予想できます。解答にするなら、\(\log(n+1)=\log n(1+\displaystyle\frac{1}{n})\) と \(n\)でくくり出すとよいでしょう。

\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty,\ c \to 0}\displaystyle\frac{\log n}{\log n(1+\displaystyle\frac{1}{n})}\cdot \log(1+\displaystyle\frac{1}{n})^n\cdot\cos c\)

\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty,\ c \to 0}\displaystyle\frac{\log n}{\log n+\log(1+\displaystyle\frac{1}{n})}\cdot \log(1+\displaystyle\frac{1}{n})^n\cdot\cos c\)

\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty,\ c \to 0}\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{\log(1+\displaystyle\frac{1}{n})}{\log n}}\cdot \log(1+\displaystyle\frac{1}{n})^n\cdot\cos c\)

\(=\displaystyle\frac{1}{1+0}\cdot\log e\cdot\cos0\)

\(=1\)

以上になります。お疲れ様でした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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