最大・最小値と係数決定

最大値・最小値に関する係数決定の例題です。

 

(例題)
\(a,b\)は正の定数とする。関数
\(y=x+\sqrt{a-bx^2}\)
の最大値が\(2\)、最小値が\(-\sqrt{3}\)となるように\(a,b\)の値を求めよ。

 

微分して増減を調べます。\(a,b\)が正の数であることに注意です。

(解答)
\(f(x)=x+\sqrt{a-bx^2}\) とおく。

\(f(x)\)の定義域は、\(a-bx^2≧0\) より
\(-\sqrt{\displaystyle\frac{a}{b}}≦x≦\sqrt{\displaystyle\frac{a}{b}}\)

\(x≠±\sqrt{\displaystyle\frac{a}{b}}\) のとき

\(f'(x)=1+\displaystyle\frac{-2bx}{2\sqrt{a-bx^2}}\)

\(=\displaystyle\frac{\sqrt{a-bx^2}-bx}{\sqrt{a-bx^2}}\)・・・①

\(x\)が負の値だと、①の分子は正になります。よってこれで場合分けします。

(ア)\(-\sqrt{\displaystyle\frac{a}{b}}<x≦0\) のとき
①より \(f'(x)>0\)

(イ)\(0<x<\sqrt{\displaystyle\frac{a}{b}}\) のとき

①の分子が(正の値)-(正の値) なので、符号が変わる可能性があります。
\(bx=\sqrt{b^2x^2}\) とみてルートの中身を比較してもよいですが、今回は有理化していきます。

①より
\(f'(x)=\displaystyle\frac{(a-bx^2)-(bx)^2}{\sqrt{a-bx^2}\cdot(\sqrt{a-bx^2}+bx)}\)

\(=\displaystyle\frac{a-b(b+1)x^2}{\sqrt{a-bx^2}\cdot(\sqrt{a-bx^2}+bx)}\) (分母は正の値)

\(f'(x)=0\) となるのは
\(a-b(b+1)x^2=0\) より
\(x=\sqrt{\displaystyle\frac{a}{b(b+1)}}\) (定義域内にある)

以上より増減表は次のようになる。

最大最小 微分 例題1-1

よって最大値は
\(f(\sqrt{\displaystyle\frac{a}{b(b+1)}})=\sqrt{\displaystyle\frac{a}{b(b+1)}}+\sqrt{a-\displaystyle\frac{a}{b+1}}\)

\(=\sqrt{\displaystyle\frac{a}{b(b+1)}}+\sqrt{\displaystyle\frac{ab}{b+1}}\)

\(=\sqrt{\displaystyle\frac{a}{b+1}}\cdot(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{b}}+\sqrt{b})\)

\(=\sqrt{\displaystyle\frac{a}{b+1}}\cdot\displaystyle\frac{1+b}{\sqrt{b}}\)

\(=\sqrt{\displaystyle\frac{a(b+1)}{b}}\)

最小値については
\(f(-\sqrt{\displaystyle\frac{a}{b}})=-\sqrt{\displaystyle\frac{a}{b}}\)、  \(f(\sqrt{\displaystyle\frac{a}{b}})=\sqrt{\displaystyle\frac{a}{b}}\)
より
最小値 \(-\sqrt{\displaystyle\frac{a}{b}}\)

ゆえに
\(\sqrt{\displaystyle\frac{a(b+1)}{b}}=2\)・・・②
\(-\sqrt{\displaystyle\frac{a}{b}}=-\sqrt{3}\)・・・③

(あとは連立方程式②③より\(a,b\)を求めるだけ)

③より
\(\displaystyle\frac{a}{b}=3\)・・・④
これを②に代入して
\(\sqrt{3(b+1)}=2\)
よって \(b=\displaystyle\frac{1}{3}\)

④より \(a=1\)

 

 

 

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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