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分母に文字が含まれている分数式は、基本的には普通の数の分数と扱い方は変わりません。
・分数式
\(\displaystyle\frac{3x}{x+2}\)のように、\(A,B\)を整式として、\(B\)が必ず文字を含むとき、\(\displaystyle\frac{A}{B}\)を分数式といい、\(B\)をその分母、\(A\)をその分子といいます。また、整式と分数式をあわせて有理式といいます。
\(\displaystyle\frac{x+2}{3}\)は、分母に文字が含まれていないので分数式ではありません。\(\displaystyle\frac{1}{3}x+\displaystyle\frac{2}{3}\) なので、係数が分数の整式です。
・分数式の性質と四則演算
①\(\displaystyle\frac{A}{B}\)\(=\displaystyle\frac{A×C}{B×C}\)
②\(\displaystyle\frac{A}{B}\)\(=\displaystyle\frac{A÷C}{B÷C}\)
分母分子に、同じものを掛けても割ってもよいということです。
①加法:\(\displaystyle\frac{A}{C}+\displaystyle\frac{B}{C}\)\(=\displaystyle\frac{A+B}{C}\)
②減法:\(\displaystyle\frac{A}{C}-\displaystyle\frac{B}{C}\)\(=\displaystyle\frac{A-B}{C}\)
③乗法:\(\displaystyle\frac{A}{B}×\displaystyle\frac{C}{D}\)\(=\displaystyle\frac{AC}{BD}\)
④除法:\(\displaystyle\frac{A}{B}÷\displaystyle\frac{C}{D}\)\(=\displaystyle\frac{A}{B}×\displaystyle\frac{D}{C}\)\(=\displaystyle\frac{AD}{BC}\)
①②加法と減法については、同じ分母どうしであれば、分子を足し引きできます。分母が同じでない場合は通分します。
③乗法については、分子どうし分母どうしを掛けます。
④除法については、割る式の逆数をとり掛けます。
普通の分数と変わりません。
・分数式の約分
分数式の分母と分子を、それらの共通因数(共通の割り切れる式)で割ることを約分するといい、それ以上約分できない分数式を既約分数式といいます。
分数式の計算の解答は既約分数式にしましょう。
(例題1)次の分数式を約分せよ。
(1)\(\displaystyle\frac{12ax^3y^2}{40a^2x^2y}\)
(2)\(\displaystyle\frac{a^4-a^2b^2}{a^3+a^2b-2ab^2}\)
(2)は共通因数を見つけるために、分母と分子を因数分解します。
(解答)
(1)
\(\displaystyle\frac{12ax^3y^2}{40a^2x^2y}\)
\(=\displaystyle\frac{\cancelto{3}{12}\cancel{a}\cancelto{x}{x^3}\cancelto{y}{y^2}}{\cancelto{10}{40}\cancelto{a}{a^2}\cancel{x^2}\cancel{y}}\)
\(=\)\(\displaystyle\frac{3xy}{10a}\)
(2)
\(\displaystyle\frac{a^4-a^2b^2}{a^3+a^2b-2ab^2}\)
\(=\displaystyle\frac{a^2(a^2-b^2)}{a(a^2+ab-2b^2)}\)
\(=\displaystyle\frac{a^2(a+b)(a-b)}{a(a+2b)(a-b)}\)
\(=\displaystyle\frac{\cancelto{a}{a^2}(a+b)\cancel{(a-b)}}{\cancel{a}(a+2b)\cancel{(a-b)}}\)
\(=\)\(\displaystyle\frac{a(a+b)}{a+2b}\)
(例題2)次の式を計算せよ。
(1)\(\displaystyle\frac{3a^2+8a+4}{a^2-2a-3}\)\(÷\displaystyle\frac{6a^2+a-2}{a^2+a}\)\(×\displaystyle\frac{2a-1}{a+2}\)
(2)\(\displaystyle\frac{x^3-y^3}{x^3+y^3}÷\displaystyle\frac{(x-y)^2}{x^2-y^2}\)
最終的に約分するので、因数分解できるところはしておきます。
(解答)
(1)
\(\displaystyle\frac{3a^2+8a+4}{a^2-2a-3}\)\(÷\displaystyle\frac{6a^2+a-2}{a^2+a}\)\(×\displaystyle\frac{2a-1}{a+2}\)
\(=\displaystyle\frac{3a^2+8a+4}{a^2-2a-3}\)\(×\displaystyle\frac{a^2+a}{6a^2+a-2}\)\(×\displaystyle\frac{2a-1}{a+2}\)
\(=\displaystyle\frac{(3a+2)(a+2)}{(a-3)(a+1)}\)\(×\displaystyle\frac{a(a+1)}{(3a+2)(2a-1)}\)\(×\displaystyle\frac{2a-1}{a+2}\)
\(=\displaystyle\frac{\cancel{(3a+2)}\cancel{(a+2)}}{(a-3)\cancel{(a+1)}}\)\(×\displaystyle\frac{a\cancel{(a+1)}}{\cancel{(3a+2)}\cancel{(2a-1)}}\)\(×\displaystyle\frac{\cancel{2a-1}}{\cancel{a+2}}\)
\(=\)\(\displaystyle\frac{a}{a-3}\)
(2)
\(\displaystyle\frac{x^3-y^3}{x^3+y^3}÷\displaystyle\frac{(x-y)^2}{x^2-y^2}\)
\(=\displaystyle\frac{x^3-y^3}{x^3+y^3}\)\(×\displaystyle\frac{x^2-y^2}{(x-y)^2}\)
\(=\displaystyle\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{(x+y)(x^2-xy+y^2)}\)\(×\displaystyle\frac{(x+y)(x-y)}{(x-y)^2}\)
\(=\displaystyle\frac{\cancel{(x-y)}(x^2+xy+y^2)}{\cancel{(x+y)}(x^2-xy+y^2)}\)\(×\displaystyle\frac{\cancel{(x+y)}\cancel{(x-y)}}{\cancel{(x-y)^2}}\)
\(=\)\(\displaystyle\frac{x^2+xy+y^2}{x^2-xy+y^2}\)
加法と減法については次回で扱います。
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。