分数式の基礎計算②・条件式と分数式

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引き続き分数式の計算です。今回は加法と減法です。
普通の分数と同じように分母が違う場合は、通分をして計算します。

 

(例題1)次の計算をせよ。
(1)\(\displaystyle\frac{3a}{a+b}\)\(+\displaystyle\frac{3b}{a-b}\)\(-\displaystyle\frac{3(a^2-b^2)}{a^2+b^2}\)

(2)\(\displaystyle\frac{x+2}{x^2+7x+12}\)\(-\displaystyle\frac{x+4}{x^2+5x+6}\)\(-\displaystyle\frac{x^2+3x}{(x+2)(x^2+7x+12)}\)

 

 

加法と減法については通分します。
その際に通分しやすいように、分母が因数分解できる場合にはしておきましょう。

(解答)
(1)

全体を通分するより、前2項を先に通分したほうがやりやすいです。

\(\displaystyle\frac{3a}{a+b}\)\(+\displaystyle\frac{3b}{a-b}\)\(-\displaystyle\frac{3(a^2-b^2)}{a^2+b^2}\)

\(=\displaystyle\frac{3a(a-b)+3b(a+b)}{(a+b)(a-b)}\)\(-\displaystyle\frac{3(a^2-b^2)}{a^2+b^2}\)

\(=\displaystyle\frac{3(a^2+b^2)}{a^2-b^2}\)\(-\displaystyle\frac{3(a^2-b^2)}{a^2+b^2}\)

\(=\displaystyle\frac{3\{(a^2+b^2)^2-(a^2-b^2)^2\}}{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}\)

\(=\)\(\displaystyle\frac{3(4a^2b^2)}{a^4-b^4}\)

\(=\)\(\displaystyle\frac{12a^2b^2}{a^4-b^4}\)

 

(2)
\(\displaystyle\frac{x+2}{x^2+7x+12}\)\(-\displaystyle\frac{x+4}{x^2+5x+6}\)\(-\displaystyle\frac{x^2+3x}{(x+2)(x^2+7x+12)}\)

\(=\displaystyle\frac{x+2}{(x+3)(x+4)}\)\(-\displaystyle\frac{x+4}{(x+2)(x+3)}\)\(-\displaystyle\frac{x^2+3x}{(x+2)(x+3)(x+4)}\)

\(=\displaystyle\frac{(x+2)^2-(x+4)^2-(x^2+3x)}{(x+2)(x+3)(x+4)}\)

 

分子を展開して計算してもよいですが、\(x^2\)の係数のみを頭の中で計算→\(x\)の係数のみを頭で計算→定数項をのみを頭で計算 します。

\(=\displaystyle\frac{-x^2-7x-12}{(x+2)(x+3)(x+4)}\)

\(=\displaystyle\frac{-(x^2+7x+12)}{(x+2)(x+3)(x+4)}\)

\(=\displaystyle\frac{-(x+3)(x+4)}{(x+2)(x+3)(x+4)}\)

\(=\)\(-\displaystyle\frac{1}{x+2}\)

 

 

続いて条件式がある分数式の計算です。

 

(例題2)
\(0,1\)と異なる\(a,b,c\)が

\(a+\displaystyle\frac{1}{b}=b+\displaystyle\frac{1}{c}=1\)・・・①

をみたすとき、\(c+\displaystyle\frac{1}{a}\) と \(abc\) の値を求めよ。

 

 

条件式①は
\(a+\displaystyle\frac{1}{b}=1\), \(b+\displaystyle\frac{1}{c}=1\)
なので、式2つに文字3で具体的に\(a,b,c\)は求まりませんが、ある2つの文字を別の1つの文字で表すことはできます。例えば\(a,c\)を\(b\)を使って表すことができます。

(解答)
①より
\(a+\displaystyle\frac{1}{b}=1\)・・・②, \(b+\displaystyle\frac{1}{c}=1\)・・・③
だから

②より \(a=1-\displaystyle\frac{1}{b}=\displaystyle\frac{b-1}{b}\)
③より \(\displaystyle\frac{1}{c}=1-b\) であり \(c=\displaystyle\frac{1}{1-b}\)

よって
\(c+\displaystyle\frac{1}{a}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{1-b}+\displaystyle\frac{b}{b-1}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{1-b}-\displaystyle\frac{b}{1-b}\)

\(=\displaystyle\frac{1-b}{1-b}\)

\(=\)\(1\)

 

また、
\(abc\)
\(=\displaystyle\frac{b-1}{b}×b×\displaystyle\frac{1}{1-b}\)

\(=\)\(-1\)

 

 

 

 

 

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。

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