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部分分数分解は、他分野(数B数列,数Ⅲ積分)などでも必要な重要知識となります。
しっかりマスターしましょう。
・部分分数分解
\(\displaystyle\frac{1}{x(x+1)}\)のように、分母が積の形になっている分数式を、
\(\displaystyle\frac{1}{x(x+1)}\)\(=\displaystyle\frac{1}{x}-\displaystyle\frac{1}{x+1}\)・・・(※)
のように和(差)の形に変形することを部分分数分解といいます。
\(\displaystyle\frac{1}{x(x+1)}\)を、分母の一部である\(x\)と\(x+1\)を分母にもつ分数式の差で表しています。
※の(右辺)→(左辺)は計算で容易に確かめられます。
(左辺)→(右辺)については
\(\displaystyle\frac{1}{x(x+1)}\)\(=\displaystyle\frac{x+1-x}{x(x+1)}\)\(=\displaystyle\frac{\cancelto{1}{x+1}}{x\cancel{(x+1)}}-\displaystyle\frac{\cancelto{1}{x}}{\cancel{x}(x+1)}\)
(例題)次の式を計算せよ。
(1)\(\displaystyle\frac{1}{x(x+1)}+\displaystyle\frac{1}{(x+1)(x+2)}\)
(2)\(\displaystyle\frac{1}{a(a+2)}+\displaystyle\frac{1}{(a+2)(a+4)}\)
(解答)
(1)
\(\displaystyle\frac{1}{(x+1)(x+2)}\) を\(\displaystyle\frac{1}{x+1}\) と \(\displaystyle\frac{1}{x+2}\) の差で表します。
\(\displaystyle\frac{1}{x(x+1)}+\displaystyle\frac{1}{(x+1)(x+2)}\)
\(=(\displaystyle\frac{1}{x}-\displaystyle\frac{1}{x+1})\)\(+(\displaystyle\frac{1}{x+1}-\displaystyle\frac{1}{x+2})\)
\(=(\displaystyle\frac{1}{x}\cancel{-\displaystyle\frac{1}{x+1}})\)\(+(\cancel{\displaystyle\frac{1}{x+1}}-\displaystyle\frac{1}{x+2})\)
\(=\displaystyle\frac{1}{x}-\displaystyle\frac{1}{x+2}\)
\(=\)\(\displaystyle\frac{2}{x(x+2)}\)
(2)
と変形したいところですが、右辺を計算すると \(\displaystyle\frac{2}{a(a+2)}\) であり左辺の2倍となっています。よって調整のために、\(\displaystyle\frac{1}{2}\)倍します。
正しくは
\(\displaystyle\frac{1}{a(a+2)}\)\(=\)\(\displaystyle\frac{1}{2}\)\((\displaystyle\frac{1}{a}-\displaystyle\frac{1}{a+2})\)
です。
\(\displaystyle\frac{1}{a(a+2)}+\displaystyle\frac{1}{(a+2)(a+4)}\)
\(=\)\(\displaystyle\frac{1}{2}\)\((\displaystyle\frac{1}{a}-\displaystyle\frac{1}{a+2})\)\(+\)\(\displaystyle\frac{1}{2}\)\((\displaystyle\frac{1}{a+2}-\displaystyle\frac{1}{a+4})\)
\(=\)\(\displaystyle\frac{1}{2}\)\((\displaystyle\frac{1}{a}\cancel{-\displaystyle\frac{1}{a+2}})\)\(+\)\(\displaystyle\frac{1}{2}\)\((\cancel{\displaystyle\frac{1}{a+2}}-\displaystyle\frac{1}{a+4})\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}(\displaystyle\frac{1}{a}-\displaystyle\frac{1}{a+4})\)
\(=\)\(\displaystyle\frac{2}{a(a+4)}\)
・3つ以上の積の場合の部分分数分解
(3つの場合)
\(\displaystyle\frac{1}{k(k+1)(k+2)}\) を部分分数分解します。
分母が \(k(k+1)\) と \((k+1)(k+2)\) の分数式の差を考えて、調整のため\(\displaystyle\frac{1}{2}\)倍して
\(\displaystyle\frac{1}{k(k+1)(k+2)}\)\(=\displaystyle\frac{1}{2}\{\displaystyle\frac{1}{k(k+1)}\)\(-\displaystyle\frac{1}{(k+1)(k+2)}\}\)・・・①
なお、①は次のように導くこともできます。
\(\displaystyle\frac{1}{k(k+1)(k+2)}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{k+1}×\displaystyle\frac{1}{k(k+2)}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{k+1}・\displaystyle\frac{1}{2}(\displaystyle\frac{1}{k}-\displaystyle\frac{1}{k+2})\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\{\displaystyle\frac{1}{k(k+1)}\)\(-\displaystyle\frac{1}{(k+1)(k+2)}\}\)・・・①
(4つの場合)
\(\displaystyle\frac{1}{k(k+1)(k+2)(k+3)}\) の部分分数分解は
分母が \(k(k+1)(k+2)\) と \((k+1)(k+2)(k+3)\) の分数式の差を考えて、調整のため\(\displaystyle\frac{1}{3}\)倍して
\(\displaystyle\frac{1}{k(k+1)(k+2)(k+3)}\)\(=\displaystyle\frac{1}{3}\{\displaystyle\frac{1}{k(k+1)(k+2)}\)\(-\displaystyle\frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}\}\)・・・②
なお先ほどと同様に、\(\displaystyle\frac{1}{k(k+3)}\)の部分分数分解を考えても②を導くことができます。
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。