繁分数式

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分数式の分母分子にさらに分数が含まれている、複雑な分数式の計算について学んでいきます。

・繁分数式
\(\displaystyle\frac{2+\displaystyle\frac{1}{x-1}}{1+\displaystyle\frac{x}{x+3}}\) のように、分数式の分母または分子が分数式であるとき、この分数式を繁分数式(はんぶんすうしき)といいます。

繁分数式を簡単な式にするには

①分母分子に同じ式を掛けたり割ったりする
②\(\displaystyle\frac{B}{A}\)を\(B÷A\)として計算する

などを利用します。

なお、\(\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{A}}\)\(=\displaystyle\frac{1×A}{\displaystyle\frac{1}{A}×A}\)\(=A\)
は覚えてもよいと思います。

(例題)次の式を簡単にせよ。
(1)\(\displaystyle\frac{x-\displaystyle\frac{1}{x}}{\displaystyle\frac{1}{x+1}-\displaystyle\frac{1}{x}}\)

(2)\(\displaystyle\frac{1}{x-\displaystyle\frac{1}{1-\displaystyle\frac{1}{x+1}}}\)

(解答)
(1)
(解法1)
(分子分母にある分数の分母\(x\)と\(x+1\)が邪魔なので)

分母分子に\(x(x+1)\)を掛けると

(与式)\(=\displaystyle\frac{(x-\displaystyle\frac{1}{\color{red}{x}})×x(x+1)}{(\displaystyle\frac{1}{\color{red}{x+1}}-\displaystyle\frac{1}{\color{red}{x}})×x(x+1)}\)

\(=\displaystyle\frac{(x^2-1)(x+1)}{x-(x+1)}\)

\(=\)\(-(x-1)(x+1)(x+1)\)

\(=\)\(-(x-1)(x+1)^2\)

(解法2)
分子と分母を別々に計算すると

(分子)\(=x-\displaystyle\frac{1}{x}=\displaystyle\frac{x^2-1}{x}\)

(分母)\(=\displaystyle\frac{1}{x+1}-\displaystyle\frac{1}{x}\)\(=\displaystyle\frac{-1}{x(x+1)}\)

よって
(与式)=(分子)÷(分母)
\(=\displaystyle\frac{x^2-1}{x}÷\displaystyle\frac{-1}{x(x+1)}\)

\(=\displaystyle\frac{x^2-1}{\cancel{x}}×\displaystyle\frac{-\cancel{x}(x+1)}{1}\)

\(=\)\(-(x-1)(x+1)^2\)

(2)

(解法1)
\(\displaystyle\frac{1}{x-\color{red}{\displaystyle\frac{1}{1-\displaystyle\frac{1}{x+1}}}}\)　(赤色の分母分子に\(x+1\)を掛ける)

\(=\displaystyle\frac{1}{x-\displaystyle\frac{1×(x+1)}{(1-\displaystyle\frac{1}{x+1})×(x+1)}}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{x-\displaystyle\frac{x+1}{x+1-1}}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{x-\displaystyle\frac{x+1}{x}}\)

\(=\displaystyle\frac{1×x}{(x-\displaystyle\frac{x+1}{x})×x}\)　(分母分子に\(x\)をかける)

\(=\)\(\displaystyle\frac{x}{x^2-x-1}\)

(解法2)
\(\displaystyle\frac{1}{x-\displaystyle\frac{1}{\color{red}{1-\displaystyle\frac{1}{x+1}}}}\)　(赤色を計算する)

\(=\displaystyle\frac{1}{x-\displaystyle\frac{1}{\color{red}{\displaystyle\frac{x+1-1}{x+1}}}}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{x-\displaystyle\frac{1}{\color{red}{\displaystyle\frac{x}{x+1}}}}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{x-\displaystyle\frac{x+1}{x}}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{x^2-(x+1)}{x}}\)　(分母を計算する)

\(=\)\(\displaystyle\frac{x}{x^2-x-1}\)

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。

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