2つのデータ合計の分析に関する問題を見ていきましょう。
(問題)
12個のデータがある。そのうち6個のデータの平均値は4、標準偏差は3であり、残りの6個のデータの平均値は8、標準偏差は5である。
(1)全体の平均値を求めよ。
(2)全体の分散を求めよ。
(1)
6個のデータを\(x_1,x_2,・・・,x_6\)、残りの6個のデータを\(x_7,x_8,・・・,x_{12}\)とする。
\(4=\displaystyle\frac{1}{6}(x_1+x_2+・・・+x_6)\)より
\(x_1+x_2+・・・+x_6=24\)
\(8=\displaystyle\frac{1}{6}(x_7+x_8+・・・+x_{12})\)より
\(x_7+x_8+・・・+x_{12}=48\)
よって全体の平均値\(\bar{x}\)は
\(\bar{x}=\displaystyle\frac{1}{12}(24+48)=\)\(6\)
(2)
\(x_1～x_6\)の6個のデータの平均は\(4\),分散は\(3^2=9\)だから
\(9=\displaystyle\frac{1}{6}(x_1^2+x_2^2+・・・+x_6^2)-4^2\)となり
\(x_1^2+x_2^2+・・・+x_6^2=6(9+4^2)=6・25\)
\(x_7～x_{12}\)の6個のデータの平均は\(8\)、分散は\(5^2=25\)だから
\(25=\displaystyle\frac{1}{6}(x_7^2+x_8^2+・・・+x_{12}^2)-8^2\)となり
\(x_7^2+x_8^2+・・・+x_{12}^2=6(25+64)=6・89\)
したがって全体の分散\(s^2\)は(1)で求めた平均値より
\(s^2=\displaystyle\frac{1}{12}(x_1^2+x_2^2+・・・+x_{12}^2)-6^2\)
\(=\displaystyle\frac{1}{12}(6・25+6・89)-36\)
\(=\)\(21\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。