ド・モアブルの定理と実数条件・整数問題

ド・モアブルの定理を利用した実数条件などの問題について見ていきます。

(例題1)
\(a\)は正の実数で、複素数
\(z=\displaystyle\frac{(1+i)^3(a-i)^2}{\sqrt{2}(a-3i)^2}\)
は、\(|z|=\displaystyle\frac{2}{3}\) を満たす。

(1)\(a\)の値を求めよ。また\(z\)を極形式で表せ。(偏角\(θ\)は \(0≦θ<2π\) とする)
(2)\(z^n\)が実数となるような自然数\(n\)の最小値を求めよ。またそのときの\(z^n\)の値を求めよ。

(解答)
(1)

\(a\)は実数であるから
\(|z|=\displaystyle\frac{|1+i|^3|a-i|^2}{\sqrt{2}|a-3i|^2}\)

\(=\displaystyle\frac{(\sqrt{2})^3(a^2+1)}{\sqrt{2}(a^2+9)}\)

\(|z|=\displaystyle\frac{2}{3}\) より
\(\displaystyle\frac{2(a^2+1)}{a^2+9}=\displaystyle\frac{2}{3}\)
よって
\(3(a^2+1)=a^2+9\)
\(a^2=3\)
\(a>0\) より
\(a=\sqrt{3}\)

ゆえに
\(z=\displaystyle\frac{(1+i)^3(\sqrt{3}-i)^2}{\sqrt{2}(\sqrt{3}-3i)^2}\)

(分母分子を極形式で表して整理していきます)

\(=\displaystyle\frac{\left\{\sqrt{2}(\cos\displaystyle\frac{π}{4}+i\sin\displaystyle\frac{π}{4})\right\}^3\left\{2\left(\cos(-\displaystyle\frac{π}{6})+i\sin(-\displaystyle\frac{π}{6})\right)\right\}^2}{\sqrt{2}\left\{2\sqrt{3}\left(\cos(-\displaystyle\frac{π}{3})+i\sin(-\displaystyle\frac{π}{3})\right)\right\}^2}\)

\(=\displaystyle\frac{2}{3}\cdot\displaystyle\frac{(\cos\displaystyle\frac{3π}{4}+i\sin\displaystyle\frac{3π}{4})\left(\cos(-\displaystyle\frac{π}{3})+i\sin(-\displaystyle\frac{π}{3})\right)}{\cos(-\displaystyle\frac{2π}{3})+i\sin(-\displaystyle\frac{2π}{3})}\)

(\(\displaystyle\frac{3π}{4}-\displaystyle\frac{π}{3}+\displaystyle\frac{2π}{3}=\displaystyle\frac{13}{12}π\) だから)

\(=\displaystyle\frac{2}{3}(\cos\displaystyle\frac{13}{12}π+i\sin\displaystyle\frac{13}{12}π)\)

(2)
(1)の結果から
\(z^n=(\displaystyle\frac{2}{3})^n(\cos\displaystyle\frac{13n}{12}π+i\sin\displaystyle\frac{13n}{12}π)\)

\(z^n\)が実数になるためには、虚部が\(0\)になればよいので
\(\displaystyle\frac{13n}{12}π\) が \(π\) の整数倍になればよい。
よって、自然数\(n\)の最小値は \(n=12\)

このとき
\(z^{n}=(\displaystyle\frac{2}{3})^{12}(\cos13π+i\sin13π)\)

\(=-(\displaystyle\frac{2}{3})^{12}\)

(例題2)
複素数
\(α=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}+\displaystyle\frac{1}{2}i\),  \(β=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}i\)
が与えられている。

(1)\(-2i=α^{n}(1+\sqrt{3}i)\) となるような自然数\(n\)のうちで最小のものを求めよ。
(2)\(-2i=α^{n}β^{m}(1+\sqrt{3}i)\) となるような自然数の組 \((n,m)\) のうちで、\(n+m\) が最小となるものを求めよ。

(解答)
(1)
\(-2i=(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}+\displaystyle\frac{1}{2}i)^{n}(1+\sqrt{3}i)\) より

\(2(\cos\displaystyle\frac{3π}{2}+i\sin\displaystyle\frac{3π}{2})=(\cos\displaystyle\frac{π}{6}+i\sin\displaystyle\frac{π}{6})^n\cdot2(\cos\displaystyle\frac{π}{3}+i\sin\displaystyle\frac{π}{3})\)

\(\cos\displaystyle\frac{3π}{2}+i\sin\displaystyle\frac{3π}{2}=(\cos\displaystyle\frac{nπ}{6}+i\sin\displaystyle\frac{nπ}{6})(\cos\displaystyle\frac{π}{3}+i\sin\displaystyle\frac{π}{3})\)

\(\cos\displaystyle\frac{3π}{2}+i\sin\displaystyle\frac{3π}{2}=\cos(\displaystyle\frac{nπ}{6}+\displaystyle\frac{π}{3})+i\sin(\displaystyle\frac{nπ}{6}+\displaystyle\frac{π}{3})\)

よって、\(k\)を整数として
\(\displaystyle\frac{3π}{2}+2kπ=\displaystyle\frac{nπ}{6}+\displaystyle\frac{π}{3}\)
整理すると
\(n=7+12k\)

したがって最小の自然数\(n\)は、\(k=0\) として
\(n=7\)

(2)
\(-2i=α^{n}β^{m}(1+\sqrt{3}i)\)

\(β=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}i=\cos\displaystyle\frac{π}{4}+i\sin\displaystyle\frac{π}{4}\)
だから、(1)の途中式を利用すると

\(\cos\displaystyle\frac{3π}{2}+i\sin\displaystyle\frac{3π}{2}=(\cos\displaystyle\frac{mπ}{4}+i\sin\displaystyle\frac{mπ}{4})\left(\cos(\displaystyle\frac{nπ}{6}+\displaystyle\frac{π}{3})+i\sin(\displaystyle\frac{nπ}{6}+\displaystyle\frac{π}{3})\right)\)

よって
\(\cos\displaystyle\frac{3π}{2}+i\sin\displaystyle\frac{3π}{2}=\cos(\displaystyle\frac{mπ}{4}+\displaystyle\frac{nπ}{6}+\displaystyle\frac{π}{3})+i\sin(\displaystyle\frac{mπ}{4}+\displaystyle\frac{nπ}{6}+\displaystyle\frac{π}{3})\)

となるから、\(l\)を整数として
\(\displaystyle\frac{3π}{2}+2lπ=\displaystyle\frac{mπ}{4}+\displaystyle\frac{nπ}{6}+\displaystyle\frac{π}{3}\)
整理して
\(2n+3m=14+24l\)・・・①

\(n,m\)は自然数なので、①より \(l≧0\)

(ア)\(l=0\) のとき
\(2n+3m=14\)　(1次不定方程式)

\(3m=2(7-n)\)・・・②
\(2\)と\(3\)は互いに素なので、\(7-n\)は\(3\)の倍数。
よって、\(n=1,4\) だから、②からそれぞれ対応する\(m\)を求めて
\((n,m)=(1,4),\ (4,2)\)
このうち \(m+n\) が最小となるのは
\((n,m)=(1,4)\)　(\(n+m=5\))

(イ)\(l≧1\) のとき
①より \(2n+3m≧38\)・・・③
(自然数\(n,m\)が③を満たすには \(n+m>5\) となることを示します)
ここで、\(n+m≦5\) となるには \(n≦5,m≦5\) が必要で、このとき
\(2n+3m≦10+15≦25\)
だから、③を満たす自然数\(n,m\)は、\(n+m>5\) とならなければならない。
したがって \(l≧1\) の場合には \(n+m\) は最小とならない。

以上より
\((n,m)=(1,4)\)

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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