2次方程式の2解が、ともに正・ともに負・異符号などの問題については2次関数のグラフを考えることで解くことができますが、解と係数の関係を利用する方法でも解くことができます。
・2次方程式の解の符号
実数係数2次方程式の \(ax^2+bx+c=0\) の2つの実数解を\(α,β\),判別式を\(D=b^2-4ac\)とすると以下のことが成り立ちます。
(ともに\(0\)以上: \(α≧0,β≧0\) \(\leftrightarrow\) \(D≧0\), \(α+β≧0\), \(αβ≧0\))
②ともに負：\(α<0,β<0\) \(\leftrightarrow\) \(D≧0\), \(α+β<0\), \(αβ\)\(>0\)
(ともに\(0\)以下: \(α≦0,β≦0\) \(\leftrightarrow\) \(D≧0\), \(α+β≦0\), \(αβ≧0\))
③\(α,β\)が異符号 \(\leftrightarrow\) \(αβ<0\)
(証明)
①の(\(→\))について
\(α,β\)がともに正、つまり実数のとき、\(D≧0\)
また、\(α>0,β>0\)ならば \(α+β>0\), \(αβ>0\)は明らかに成り立つ。
(\(←\))について
\(D≧0\) なので\(α,β\)は実数。
\(αβ>0\) より\(α,β\)はともに正かともに負であり、\(α+β>0\)より、ともに正である。
よって、\(α>0,β>0\)
(反例:\(α=1+i,β=1-i\))
また、2解がともに\(0\)以上のときは不等号にイコールがつくだけです。
②については①と同様に示すことができる。
③について
\(α,β\)が異符号 \(→\) \(αβ<0\) は明らかに成り立つ。
(\(←\))については
\(αβ<0\) のとき 解と係数の関係から、\(αβ=\displaystyle\frac{c}{a}<0\)
よって、\(a,c\)は異符号であり \(D=b^2-4ac>0\)
したがって、\(α,β\)は実数であり、\(αβ<0\)より異符号。
なぜなら今示したように、\(αβ<0\)のときには必ず\(D>0\)となるからです。
※ちなみに2次関数のグラフを考えても出てくる条件は同じになります。
例えば①ともに正の解の場合だと
\(f(x)=ax^2+bx+c\)を考えて
\(a>0\)のときは
(ア)判別式 \(D≧0\)
(イ)軸 \(-\displaystyle\frac{b}{2a}>0\)
(ウ)端点 \(f(0)=c>0\)
\(a<0\)のときは
(ア)判別式 \(D≧0\)
(イ)軸 \(-\displaystyle\frac{b}{2a}>0\)
(ウ)端点 \(f(0)=c<0\)
(イ)に関しては、\(a>0\),\(a<0\)どちらも\(-\displaystyle\frac{b}{a}>0\)
(ウ)に関しては、\(a>0\)のときは \(c>0\)より \(\displaystyle\frac{c}{a}>0\)
\(a<0\)のときは \(c<0\)より \(\displaystyle\frac{c}{a}>0\)
したがって、\(a\)の正負に関係せず
\(D≧0\), \(-\displaystyle\frac{b}{a}>0\) , \(\displaystyle\frac{c}{a}>0\) がともに正の解である条件となり、解と係数の関係からこの3条件は
\(D≧0\), \(α+β>0\) , \(αβ>0\)
(例題)
\(x\)についての2次方程式 \(x^2+(a-4)x+7-2a=0\) の解が次の条件を満たすような実数\(a\)の値の範囲をそれぞれ求めよ。
(1)異なる2つの正の解をもつ。
(2)異符号の解をもつ。
(1)については異なる2つの正の解なので、判別式 \(D>0\)です。
(解答)
(1)
解と係数の関係から
\(α+β=4-a\), \(αβ=7-2a\)
異なる2つの正の解をもつ条件は
\(D>0\), \(α+β>0\), \(αβ>0\)
\(D=(a-4)^2-4(7-2a)=a^2-12>0\) より \(a<-2\sqrt{3}\), \(a>2\sqrt{3}\)・・・①
\(α+β=4-a>0\) より \(a<4\)・・・②
\(αβ=7-2a>0\) より \(a<\displaystyle\frac{7}{2}\)・・・③
①②③の共通範囲を求めて
\(a<-2\sqrt{3}\), \(2\sqrt{3}<a<\displaystyle\frac{7}{2}\)
\((\displaystyle\frac{7}{2})^2-(2\sqrt{3})^2\)\(=\displaystyle\frac{49}{4}-12>0\)
(2)
異符号の解をもつ条件は
\(αβ<0\)
\(αβ=7-2a<0\) より \(a>\displaystyle\frac{7}{2}\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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