その他2解の条件について

そのほかの解の配置問題の、解と係数の関係を用いた解法について見ていきます。

(例題1)
2次方程式 \(ax^2+3ax+1=0\) のすべての解が \(-3≦x≦3\)の範囲に存在するとき、
実数の定数\(a\)のとる値の範囲を求めよ。

(解答)
2次方程式なので、\(a≠0\)
また、解と係数の関係から
\(α+β=-\displaystyle\frac{3a}{a}=-3\)
\(αβ=\displaystyle\frac{1}{a}\)

ここで、「\(-3≦α≦3\),\(-3≦β≦3\) \(\leftrightarrow\) \(-3≦α\), \(-3≦β\)　かつ　\(α≦3\), \(β≦3\)」なので、2解が\(-3≦x≦3\)の範囲に存在する条件は

①\(D≧0\),
②\((α+3)+(β+3)≧0\), \((α+3)・(β+3)≧0\)
③\((α-3)+(β-3)≦0\), \((α+3)・(β+3)≧0\)

①\(D=9a^2-4a≧0\) より
\(a(9a-4)≧0\)  よって\(a≠0\)とあわせて
\(a<0\),　\(a≧\displaystyle\frac{4}{9}\)・・・(1)

②は
\(α+β+6=-3+6=3\) で条件を満たし
\((α+3)・(β+3)=αβ+3(α+β)+9\)\(=\displaystyle\frac{1}{a}-9+9≧0\) より
\(a≠0\)とあわせて \(a>0\)・・・(2)

③は
\(α+β-6=-3-6=-9\) で条件を満たし
\((α-3)・(β-3)=αβ-3(α+β)+9\)\(=\displaystyle\frac{1}{a}+9+9≧0\) より
\(\displaystyle\frac{1}{a}+18≧0\) の両辺に\(a^2(>0)\) をかけて
\(18a^2+a≧0\)  \(a(18a+1)≧0\) より \(a≠0\)とあわせて
\(a>0\) または \(a≦-\displaystyle\frac{1}{18}\)・・・(3)

(1)～(3)の共通範囲を考えると
\(a≧\displaystyle\frac{4}{9}\)

(例題2)
\(x\)についての2次方程式 \(x^2-ax+a^2-6=0\) が少なくとも1つの正の解をもつように、実数\(a\)の値の範囲を定めよ。

(解答)
方程式の2解を\(α,β\)とすると、解と係数の関係から
\(α+β=a\), \(αβ=a^2-6\)

ここで少なくとも1つの正の解をもつときは
(ア)2解がともに正　(イ)1解が正でもう1解は負　(ウ)1解が\(0\)でもう1解が正
の場合が考えられる。

(ア)2解がともに正
\(D≧0\),　\(α+β>0\),　\(αβ>0\) が条件となる。

\(D=a^2-4a^2+24=-3(a^2-8)≧0\) より
\(-2\sqrt{2}≦a≦2\sqrt{2}\)・・・①

\(α+β=a>0\)・・・②

\(αβ=a^2-6>0\) より \(a<-\sqrt{6}\) または \(a>\sqrt{6}\)・・・③

①②③の共通範囲を考えて
\(\sqrt{6}<a≦2\sqrt{2}\)・・・(A)

(イ)1解が正でもう1解は負
\(αβ<0\) が条件なので
\(a^2-6<0\)
よって \(-\sqrt{6}<a<\sqrt{6}\)・・・(B)

(ウ)1解が\(0\)でもう1解が正
1解が\(0\)なので\(x=0\)を方程式に代入して
\(a^2-6=0\) より \(a=±\sqrt{6}\)

\(a=\sqrt{6}\)のとき方程式は
\(x^2-\sqrt{6}x=0\) で、もう1つの解は\(x=\sqrt{6}\)であり適する。

\(a=-\sqrt{6}\)のとき方程式は
\(x^2+\sqrt{6}x=0\) で、もう1つの解は\(x=-\sqrt{6}\)であり不適。

よって \(a=\sqrt{6}\)・・・(C)

以上より求める\(a\)の範囲は(A)(B)(C)をあわせたものだから
\(-\sqrt{6}<a≦2\sqrt{2}\)

今までに渡って、解と係数の関係を用いた解の配置問題について考えてきましたが、
例えば2次方程式において 「1解が\(-1\)より小さく、もう1解が\(1\)より大きい」、「\(-1≦x≦1\) の範囲にただ1つの実数解をもつ」などといった問題だと、条件の\(α,β\)の対称性がないので、解と係数の関係がうまく使えません。こういった問題については、2次関数のグラフを考えるのが得策となります。
(もちろん今までの問題も2次関数のグラフを考えることで解くこともできます)

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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