剰余の定理・因数定理

剰余の定理・因数定理について学んでいきます。

・剰余の定理
整式\(P(x)\)を1次式\(x-k\)で割ったときの商を\(Q(x)\)、余りを\(R\)とすると、次の等式が成り立ちます。また\(R\)は1次式で割った余りなので定数となります。

\(P(x)=(x-k)Q(x)+R\)　(\(R\)は定数)

この等式は恒等式なので\(x=k\)を代入すると

\(P(k)=０・Q(x)+R=R\)
よって、\(P(k)=R\) となり
余り\(R\)は\(P(x)\)に\(x=k\)を代入したものになります。
これを剰余の定理とよびます。

同様に\(P(x)\)を\(ax+b\) (\(a≠0\))で割ったときの余りについては

\(P(x)=(ax+b)Q(x)+R\) なので

\(P(-\displaystyle\frac{b}{a})=R\)

となります。

・因数定理
剰余の定理において、余り\(R\)が\(0\)の場合を考えると次のことが成り立ちます。(因数定理)

(証明)
(\(→\))について
\(P(k)=0\) のとき、\(P(x)\)を\(x-k\)で割った余りは、剰余の定理より \(R=0\)
よって、\(P(x)\)を\(x-k\)で割ったときの余りが\(0\)なので、\(x-k\)を因数にもつことになる。

(\(←\))について
\(P(x)\)が因数\(x-k\)をもつとき
\(P(x)=(x-k)Q(x)\) と表されるので、\(x=k\)を代入すると
\(P(k)=0\)

また剰余の定理のときと同様に、1次式\(ax+b\)の場合を考えると次のことが成り立ちます。

\(P(-\displaystyle\frac{b}{a})=0\)　\(\leftrightarrow\)　\(P(x)\)は因数\(ax+b\)をもつ

(例題)
\(4x^3+ax+b\)は \(x+1\)で割り切れ、\(2x-1\)で割ると\(6\)余るという。このとき定数\(a,b\)の値を求めよ。

(解答)
\(4x^3+ax+b\)は\(x+1\)で割り切れるので、商を\(Q_1(x)\)とすると
\(4x^3+ax+b=(x+1)Q_1(x)\)

\(x=-1\) を代入して
\(-4-a+b=0\)・・・①

また、\(4x^3+ax+b\)は\(2x-1\)で割ると\(6\)余るので、商を\(Q_2(x)\)とすると
\(4x^3+ax+b=(2x-1)Q_2(x)+6\)

\(x=\displaystyle\frac{1}{2}\)を代入して
\(\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{2}a+b=6\)・・・②

①+②×2 より
\(-3+3b=12\) よって \(b=5\)
①に代入して \(a=1\)

答え \(a=1\), \(b=5\)

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見ていてだきありがとうございました。
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