高次方程式と解に関する問題について見ていきます。
(例題1)
3次方程式 \(x^3+ax^2+bx+10=0\) の1つの解が\(x=2+i\)であるとき、実数\(a,b\)の値と他の解を求めよ。
よって因数定理により、左辺は因数 \(x-(2+i)\), \(x-(2-i)\) をもちます。
(解答)
実数係数の3次方程式なので、\(x=2-i\)も解であり
左辺は\(x-(2+i)\), \(x-(2-i)\) を因数にもつ。
\(\{x-(2+i)\}\{x-(2-i)\}\)\(=x^2-4x+5\) より
\(x^3+ax^2+bx+10\)は \(x^2-4x+5\) で割り切れる。
実際に割り算すると
商は \(x+(a+4)\), 余りは \((b+4a+11)x-5a-10\)
\(b+4a+11=0\), \(-5a-10=0\) より
\(a=-2\), \(b=-3\)
よって商は \(x+2\) だから 方程式は
\((x+2)(x^2-4x+5)=0\) となる。
他の解 \(x=-2\), \(x=2-i\)
(別解)解を代入する方法
\(x=2+i\)は方程式の解だから
\((2+i)^3+a(2+i)^2+b(2+i)+10=0\)
展開して整理すると
\((3a+2b+12)+(4a+b+11)i\)\(=0\)
\(3a+2b+12\), \(4a+b+11\) は実数だから
\(3a+2b+12=0\), \(4a+b+11=0\)
これを解くと \(a=-2\),\(b=-3\)
よって方程式は
\(x^3-2x^2-3x+10=0\)・・・(A)
以下(A)の実数解\(x=-2\)を見つけてもよいし
先ほどと同様に\(x=2-i\)も解であることから、(A)の左辺が因数\(x^2-4x+5\)をもつので、(A)の左辺を\(x^2-4x+5\)で割ってもよい(もちろん割り切れる)。
(例題2)
4次方程式 \(ax^4+bx^3-7x^2-4x+c=0\) の解のうち、2つは\(2\)と\(-2\)、他の2つの解の積は\(\displaystyle\frac{1}{2}\)である。係数\(a,b,c\)の値と他の2つの解を求めよ。
\(a(x-2)(x+2)\)×\((\)2次式\()\) となり、他の2解は(2次式)\(=0\)の解となるので、解の積が\(\displaystyle\frac{1}{2}\) であることから
\(a(x-2)(x+2)(x^2+kx+\displaystyle\frac{1}{2})\)
とおけます。
なお、他の2解が\(2,-2\)である可能性もありますが、例えば2解が\(x=2,\displaystyle\frac{1}{4}\) のときでも、(2次式)の部分が\((x-2)(x-\displaystyle\frac{1}{4})\) となるだけなので問題ないです。
(解答)
条件より
\(ax^4+bx^3-7x^2-4x+c\)
\(=a(x-2)(x+2)(x^2+kx+\displaystyle\frac{1}{2}\)) (\(k\)は定数)
と因数分解できる。
右辺を展開すると
(右辺)
\(=ax^4+akx^3-\displaystyle\frac{7a}{2}x^2-4akx-2a\)
係数比較して
\(b=ak\)・・・① \(-7=-\displaystyle\frac{7a}{2}\)・・・② \(-4=-4ak\)・・・③ \(c=-2a\)・・・④
②より \(a=2\)
③より\(k=\displaystyle\frac{1}{2}\) ④より \(c=-4\)
①より \(b=1\)
このとき
\(x^2+kx+\displaystyle\frac{1}{2}=x^2+\displaystyle\frac{1}{2}x+\displaystyle\frac{1}{2}\) となるので
他の2解は \(x^2+\displaystyle\frac{1}{2}x+\displaystyle\frac{1}{2}=0\) の解である。
\(2x^2+x+1=0\)を解くと
\(x=\displaystyle\frac{-1±\sqrt{7}i}{4}\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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