実数の2乗は\(0\)以上の数となります。
実数\(a,b\)について
①\(a^2≧0\) 等号成立は \(a=0\)のとき
②\(a^2+b^2≧0\) 等号成立は \(a=b=0\)のとき
①については、\(a>0\),\(a=0\),\(a<0\)で場合分けすると
\(a>0,a<0\) のときは \(a^2>0\)
\(a=0\) のときは \(a^2=0\)
よって\(a^2≧0\) (等号成立は\(a=0\)) となる。
②については、
(ア)\(a≠0\),\(b≠0\) (イ)\(a=0\),\(b≠0\) (ウ)\(a≠0\),\(b=0\) (エ)\(a=0\),\(b=0\) で場合分けして、①を利用すると示すことができます。
(例題)次の等式を証明せよ。
(1)\(a^2+2ab+2b^2\)\(≧2b-1\)
(2)\((a^2+b^2)(x^2+y^2)\)\(≧(ax+by)^2\)
(3)\((a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\)\(≧(ax+by+cz)^2\)
(解答)
(1)
(左辺)ー(右辺)
\(=a^2+2ab+2b^2-2b+1\)
\(=(a+b)^2-b^2+2b^2-2b+1\)
\(=(a+b)^2+b^2-2b+1\)
\(=(a+b)^2+(b-1)^2≧0\)
よって示された。等号は\(a+b=0\) かつ \(b-1=0\)のとき、つまり\(a=-1\),\(b=1\)のとき。
(2)
(左辺)ー(右辺)
\(=(a^2+b^2)(x^2+y^2)\)\(-(ax+by)^2\)
\(=a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\)\(-(a^2x^2\)\(+2abxy\)\(+b^2y^2)\)
\(=a^2y^2-2abxy+b^2x^2\)
\(=(ay-bx)^2≧0\)
等号成立は \(ay=bx\) のとき
(3)
(左辺)ー(右辺)
\(=(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\)\(-(ax+by+cz)^2\)
\(=a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2\)\(+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2\)\(+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2\)
\(-(a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2\)\(+2abxy+2bcyz+2cazx)\)
\(=a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2\)\(+b^2z^2+c^2x^2\)\(+c^2y^2\)
\(-2abxy-2bcyz-2cazx\)
(2乗の形を作れるように項を入れ替えます。例えば\(a^2y^2\)は、\((ay-□)^2\)の形からできるので、展開するとできる\(-2ay\)を含む\(-2abxy\)を持ってきます。すると相方□は\(bx\)とわかるので\(b^2x^2\)を持ってきます)
\(=(a^2y^2-2abxy+b^2x^2)\)\(+(a^2z^2-2cazx+c^2x^2)\)\(+(b^2z^2-2bcyz+c^2y^2)\)
\(=(ay-bx)^2+(az-cx)^2+(bz-cy)^2\)\(≧0\)
等号成立は、\(ay=bx\) かつ \(az=cx\) かつ \(bz=cy\) のとき。
一般的なコーシー・シュワルツの不等式については、→コーシー・シュワルツの不等式(和の形) を参照してください。
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。