大小比較

式の大小を決定する問題は、具体的に数値を代入して予想することがポイントになってきます。

(例題)
\(0<a<b<c<d\) のとき、\(\displaystyle\frac{a}{d}\),　\(\displaystyle\frac{c}{b}\),　\(\displaystyle\frac{a+c}{b+d}\),　\(\displaystyle\frac{ac}{bd}\)　 の大小を比較せよ。

(解答)
(ア)
\(\displaystyle\frac{c}{b}\)\(-\displaystyle\frac{a+c}{b+d}\)

\(=\displaystyle\frac{c(b+d)-b(a+c)}{b(b+d)}\)

\(=\displaystyle\frac{cd-ab}{b(b+d)}\)\(>0\)　(条件から \(cd>ab\)より)

よって、\(\displaystyle\frac{c}{b}\)\(>\displaystyle\frac{a+c}{b+d}\)

(イ)
\(\displaystyle\frac{a+c}{b+d}\)\(-\displaystyle\frac{ac}{bd}\)

\(=\displaystyle\frac{(a+c)bd-ac(b+d)}{bd(b+d)}\)

\(=\displaystyle\frac{abd+bcd-abc-acd}{bd(b+d)}\)

(条件がつかえるようにくくります)

\(=\displaystyle\frac{ab(d-c)+cd(b-a)}{bd(b+d)}\)\(>0\) (\(d-c>0\), \(b-a>0\) より)

よって、\(\displaystyle\frac{a+c}{b+d}\)\(>\displaystyle\frac{ac}{bd}\)

(ウ)
\(\displaystyle\frac{ac}{bd}\)\(-\displaystyle\frac{a}{d}\)

\(=\displaystyle\frac{ac-ab}{bd}\)\(=\displaystyle\frac{a(c-b)}{bd}\)\(>0\)　(\(c-b>0\)より)

よって、\(\displaystyle\frac{ac}{bd}\)\(>\displaystyle\frac{a}{d}\)

以上(ア)～(ウ)より

\(\displaystyle\frac{c}{b}\)\(>\displaystyle\frac{a+c}{b+d}\)\(>\displaystyle\frac{ac}{bd}\)\(>\displaystyle\frac{a}{d}\)

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。

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