ベクトルの演算と図示① | 教えて数学理科

ベクトルの演算についての基礎的な演習です。

(例題1)
(1)\(2(2\vec{a}+5\vec{b}-\vec{c})-3(3\vec{a}-\vec{b}+2\vec{c})\) を簡単にせよ。

(2)\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\) を簡単にせよ。

(解答)

普通の数(スカラー)と同じように計算できます。

(1)
\(2(2\vec{a}+5\vec{b}-\vec{c})-3(3\vec{a}-\vec{b}+2\vec{c})\)
\(=4\vec{a}+10\vec{b}-2\vec{c}-(9\vec{a}-3\vec{b}+6\vec{c})\)
\(=-5\vec{a}+13\vec{b}-8\vec{c}\)

(2)

色々計算方法はあると思いますが、この手の問題でよく使うのが
\(-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}\) (負だと入れ替わる)
\(\overrightarrow{A□}+\overrightarrow{□B}=\overrightarrow{AB}\) (中継点により合体できる)

\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\)
\(=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BD}\)
\(=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD})+(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA})\)
\(=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}\)
\(=\overrightarrow{AA}\)
\(=\vec{0}\)

(例題2)
(1)\(2(\vec{x}-3\vec{a})+3(\vec{x}-2\vec{b})=\vec{0}\) を満たす\(\vec{x}\)を、\(\vec{a},\vec{b}\) で表せ。

(2)\(\vec{x}+2\vec{y}=\vec{a}\),　\(2\vec{x}+\vec{y}=\vec{b}\) を同時に満たす\(\vec{x},\vec{y}\)を\(\vec{a},\vec{b}\) で表せ。

ベクトルの等式において、両辺に同じ実数を掛けても等式は変わらず成り立ち、同じベクトルを足し引きしても等式は変わらず成り立ちます。
つまり、ベクトルの等式においても普通の数と同じように式変形(実数倍や移項)などができます。

(解答)
(1)

普通の数と同じように式変形して \(\vec{x}=\cdots\) の形にします。
\(x\)の方程式を解く感覚です。

\(2(\vec{x}-3\vec{a})+3(\vec{x}-2\vec{b})=\vec{0}\) より
\(5\vec{x}-6\vec{a}-6\vec{b}=\vec{0}\)
\(5\vec{x}=6\vec{a}+6\vec{b}\)
よって
\(\vec{x}=\displaystyle\frac{6}{5}\vec{a}+\displaystyle\frac{6}{5}\vec{b}\)

(2)

\(x,y\)の連立方程式を解くように式変形していきます。

\(\vec{x}+2\vec{y}=\vec{a}\)・・・①
\(2\vec{x}+\vec{y}=\vec{b}\)・・・②

①－②×2 より \(\vec{y}\)を消去すると
\(-3\vec{x}=\vec{a}-2\vec{b}\)
\(\vec{x}=-\displaystyle\frac{1}{3}\vec{a}+\displaystyle\frac{2}{3}\vec{b}\)

②より
\(\vec{y}=-2\vec{x}+\vec{b}\) だから
\(\vec{y}=-2(-\displaystyle\frac{1}{3}\vec{a}+\displaystyle\frac{2}{3}\vec{b})+\vec{b}\)
\(\vec{y}=\displaystyle\frac{2}{3}\vec{a}-\displaystyle\frac{1}{3}\vec{b}\)

(例題3)次の等式が成り立つことを証明せよ。
(1)\(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\)
(2)\(\overrightarrow{PQ}-\overrightarrow{RQ}=\overrightarrow{SR}-\overrightarrow{SP}\)

普通の数の等式の証明と同じように
(i) (左辺)－(右辺)=\(\vec{0}\)
(ii) (左辺の変形)=(右辺の変形)
(iii) (左辺の変形)=(右辺)

(解答)
(1)
(左辺)－(右辺)
\(=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}-(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})\)
\(=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DB}\)
\(=(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD})+(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC})\)
\(=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DC}\)
\(=\vec{0}\)

よって証明された。

(2)
(左辺)－(右辺)
\(=\overrightarrow{PQ}-\overrightarrow{RQ}-(\overrightarrow{SR}-\overrightarrow{SP})\)
\(=\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}+\overrightarrow{RS}+\overrightarrow{SP}\)
\(=\overrightarrow{PR}+\overrightarrow{RP}\)
\(=\vec{0}\)

よって証明された。

解答では使いませんでしたが、差の等式
\(\overrightarrow{□A}-\overrightarrow{□B}=\overrightarrow{BA}\)
もおさえておきましょう。

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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