反復試行の確率を利用して、次の問題(対戦ゲーム)の確率を考えてみます。
(例題)
あるゲームでAがBに勝つ確率は常に一定で\(\displaystyle\frac{2}{3}\)とする。A,Bがゲームをし、先に3ゲーム勝った方を優勝とする。このとき、3ゲーム目で優勝が決まる確率は (ア) である。4ゲーム目までしてAが優勝する確率は (イ) である。また、5ゲーム目までしてAが優勝する確率は (ウ) である。ただし、ゲームでは必ず勝負がつくものとする。
(解答)
(ア)
3ゲーム目で勝敗が決まるのは、
①Aが3連続で勝つ ②Bが3連続で勝つ
の2パターンしかありません。
①Aが3連続で勝つ ②Bが3連続で勝つ
の2パターンしかありません。
3ゲーム目で勝敗が決まるのは、Aが3連続で勝つ か Bが3連続で勝つ 場合で、これらは排反である。よって
\({}_3\mathrm{C}_3(\displaystyle\frac{2}{3})^3+{}_3\mathrm{C}_3(\displaystyle\frac{1}{3})^3=\)\(\displaystyle\frac{1}{3}\)
\({}_3\mathrm{C}_3(\displaystyle\frac{2}{3})^3+{}_3\mathrm{C}_3(\displaystyle\frac{1}{3})^3=\)\(\displaystyle\frac{1}{3}\)
(イ)
4ゲーム目まで続くので、
「3ゲームまでにAが2勝1敗で、4ゲーム目にAが勝つ」場合です。
3ゲームのうち2回勝って1回負ける確率を求めるので、反復試行の確率を利用します。
「3ゲームまでにAが2勝1敗で、4ゲーム目にAが勝つ」場合です。
3ゲームのうち2回勝って1回負ける確率を求めるので、反復試行の確率を利用します。
4回のうち3回勝ち、1回負ける確率を考えて
\({}_4\mathrm{C}_3(\displaystyle\frac{2}{3})^3(\displaystyle\frac{1}{3})\) とやってはいけません。
この中には1,2,3ゲーム目でAが勝つ確率が含まれています。(このとき3ゲームで優勝が決まっている)
\({}_4\mathrm{C}_3(\displaystyle\frac{2}{3})^3(\displaystyle\frac{1}{3})\) とやってはいけません。
この中には1,2,3ゲーム目でAが勝つ確率が含まれています。(このとき3ゲームで優勝が決まっている)
「3ゲームまでにAが2勝1敗で、4ゲーム目にAが勝つ」場合を考えて
\({}_3\mathrm{C}_2(\displaystyle\frac{2}{3})^2(\displaystyle\frac{1}{3})×\displaystyle\frac{2}{3}=\)\(\displaystyle\frac{8}{27}\)
\({}_3\mathrm{C}_2(\displaystyle\frac{2}{3})^2(\displaystyle\frac{1}{3})×\displaystyle\frac{2}{3}=\)\(\displaystyle\frac{8}{27}\)
(ウ)
(イ)と考え方は一緒です。
「4ゲームまでにAが2勝2敗で、5ゲーム目にAが勝つ」場合を考えて
\({}_4\mathrm{C}_2(\displaystyle\frac{2}{3})^2(\displaystyle\frac{1}{3})^2×\displaystyle\frac{2}{3}=\)\(\displaystyle\frac{16}{81}\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。