2変数の恒等式

2変数の恒等式、\(F(x,y)=0\) や \(G(x,y)=H(x,y)\) についても、1変数と同様に扱うことができます。

・2変数の恒等式
\(ax^2+bxy+cy^2+dx\)\(+ey+f\)\(=0\)・・・①

が\(x,y\)についての恒等式であるとき、①を\(x\)について整理して

\(ax^2+(by+d)x+cy^2\)\(+ey+f\)\(=0\)・・・②

②は\(x\)についての恒等式であるから、
\(a=0\), \(by+d=0\), \(cy^2+ey+f=0\)・・・③

また③は\(y\)についての恒等式であるから、
\(b=0\), \(d=0\), \(c=0\), \(e=0\), \(f=0\)

以上より
\(a=b=c=d=e=\)\(f=0\) (各項の係数が\(0\))

また逆に、\(a=b=c=d=e=\)\(f=0\)のとき①は恒等式である。

さらに、\(x,y\)についての恒等式
\(ax^2+bxy+cy^2+dx\)\(+ey+f\)
\(=a’x^2+b’xy+c’y^2+d’x\)\(+e’y+f’\)・・・④

については、右辺を左辺に移項して、各係数が\(0\)であることから
\(a=a’\), \(b=b’\),\(c=c’\),\(d=d’\),\(e=e’\),\(f=f’\)・・・⑤
となるので、両辺の係数を比較してよいことになります。

(逆に⑤のとき④は恒等式であることは明らか)

(例題)
次の等式が\(x,y\)についての恒等式となるように、定数\(a,b,c,d\)の値を定めよ。
\(2x^2-xy-3y^2+5x-5y+a=\)\((x+y+b)\)\((2x+cy+d)\)

(解答1)係数比較法
右辺を展開すると
\(2x^2+(2+c)xy+cy^2+(2b+d)x+(bc+d)y+bd\)

与式が\(x,y\)に恒等式なので、両辺を比較すると
\(2+c=-1\)・・・(1)
\(c=-3\)・・・(2)
\(2b+d=5\)・・・(3)
\(bc+d=-5\)・・・(4)
\(bd=a\)・・・(5)

(1)(2)より \(c=-3\) 　これを(4)に代入して
\(-3b+d=-5\)・・・(6)
(3)(6)から、\(b=2\), \(d=1\)
よって、(5)より \(a=2\)

答え \(a=2\), \(b=2\), \(c=-3\), \(d=1\)

(解答2)数値代入法
与式が\(x,y\)の恒等式なので
\((x,y)\)\(=(0,0),(1,0)\)\(,(0,1),(1,1)\) を与式に代入して

\(a=bd\)・・・①
\(7+a=(1+b)(2+d)\)・・・②
\(-8+a=(1+b)(c+d)\)・・・③
\(-2+a=(2+b)(2+c+d)\)・・・④

②③④を展開して、①\(a=bd\)を用いると

\(7=2b+d+2\)・・・②’
\(-8=bc+c+d\)・・・③’
\(-2=bc+2b+2c+2d+4\)・・・④’

④’ー③’で\(bc\)を消去すると
\(6=2b+c+d+4\)・・・⑤

⑤ー②’より
\(-1=c+2\)
よって\(c=-3\)

\(c=-3\)を ③’に代入して
\(-8=-3b-3+d\)・・・⑥
⑥ー②’より
\(-15=-5b-5\)
よって、\(5b=10\)　 \(b=2\)

②’より \(7=4+d+2\)　 \(d=1\)

①から \(a=2\)

答え \(a=2\), \(b=2\), \(c=-3\), \(d=1\)

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。

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