数列の極限の基礎例題です。
(例題1)
(1)次の数列の極限を調べよ。
\(3,\displaystyle\frac{5}{2},\displaystyle\frac{7}{3},\displaystyle\frac{9}{4},\cdots\)
(2)\(a_n=1+(-1)^n\) とする。数列\(\{a_n\}\)の極限を調べよ。
(解答)
(1)
一般項\(A_n\)は、\(A_n=\displaystyle\frac{2n+1}{n}\) だから
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{2n+1}{n}\)
\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}(2+\displaystyle\frac{1}{n})\)
\(=2+0\)
\(=2\)
(2)
\(a_n=1+(-1)^n\) より、数列を列挙すると
\(\{a_n\}:0,2,0,2,0,2,\cdots\)
となり、\(0,2\)を交互にとる。
よって\(\{a_n\}\)は振動し極限はない。
(例題2)
一般項が次の式で表される数列の極限をそれぞれ求めよ。
(1)\(\displaystyle\frac{5n^4+n^2+3}{n^4+3n-2}\)
(2)\(\displaystyle\frac{3n^3+2n^2+1}{-2n^2+4}\)
(解答)
(1)
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{5n^4+n^2+3}{n^4+3n-2}\)
(\(n^4\)で分母分子を割って)
\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{5+\displaystyle\frac{1}{n^2}+\displaystyle\frac{3}{n^4}}{1+\displaystyle\frac{3}{n^3}-\displaystyle\frac{2}{n^4}}\)
\(=\displaystyle\frac{5+0+0}{1+0-0}\)
\(=5\)
(2)
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{3n^3+2n^2+1}{-2n^2+4}\)
(\(n^2\)で割って)
\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{3n+2+\displaystyle\frac{1}{n^2}}{-2+\displaystyle\frac{4}{n^2}}\)
(分母→\(-2\) で、分子→\(\infty\) )
\(=-\infty\) (発散)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見ていただきありがとうございました。
next→数列の極限の基礎例題②(無理式) back→数列の極限の基礎