和や積の形の極限

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和や積の形の極限の例題です。

(例題1)
(1)
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left\{\sqrt{1+2+\cdots+n}-\sqrt{1+2+\cdots+(n-1)}\right\}\)
を求めよ。

(2)\(\left\{\displaystyle\frac{1}{a_n}\right\}\) は、初項\(\displaystyle\frac{1}{a}\)、公差\(d\)の等差数列とする。このとき
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(a_1a_2+a_2a_3+\cdots+a_na_{n+1})\)
を求めよ。

(解答)
(1)

\(\sqrt{1+2+\cdots+n}-\sqrt{1+2+\cdots+(n-1)}\)

\(=\sqrt{\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}}-\sqrt{\displaystyle\frac{(n-1)n}{2}}\)

\(=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}-\displaystyle\frac{(n-1)n}{2}}{\sqrt{\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}}+\sqrt{\displaystyle\frac{(n-1)n}{2}}}\)

\(=\displaystyle\frac{n}{\sqrt{\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}}+\sqrt{\displaystyle\frac{(n-1)n}{2}}}\)

(\(n\ (=\sqrt{n^2})\)で割って)

\(=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}(1+\displaystyle\frac{1}{n})}+\sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}(1-\displaystyle\frac{1}{n})}}\)

よって
(与式)\(=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\)

(2)

条件より
\(\displaystyle\frac{1}{a_n}=\displaystyle\frac{1}{a}+(n-1)d\)

よって
\(a_n=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{a}+(n-1)d}\)

ここで
\(a_1a_2+a_2a_3+\cdots+a_na_{n+1}\)

\(=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{1}{\left\{\displaystyle\frac{1}{a}+(k-1)d\right\}}\cdot\displaystyle\frac{1}{\left\{\displaystyle\frac{1}{a}+kd\right\}}\)・・・①

(ア)\(d≠0\) のとき
①は
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{1}{d}\left\{\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{a}+(k-1)d}-\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{a}+kd}\right\}\)

(中の項が打ち消されて)

\(=\displaystyle\frac{1}{d}\left\{\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{a}+(1-1)d}-\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{a}+nd}\right\}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{d}\left\{a-\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{a}+nd}\right\}\)

\(n \to \infty\) のとき \(\displaystyle\frac{a}{d}\)

(イ)\(d=0\) のとき
①は
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a^2=na^2\)

\(n \to \infty\) のとき \(\infty\) (発散)

(例題2)
次の極限値を求めよ。
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(1-\displaystyle\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\displaystyle\frac{1}{3^2}\right)\cdots\left(1-\displaystyle\frac{1}{n^2}\right)\)

(解答)
\(\left(1-\displaystyle\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\displaystyle\frac{1}{3^2}\right)\left(1-\displaystyle\frac{1}{4^2}\right)\cdots\left(1-\displaystyle\frac{1}{n^2}\right)\)

\(=\left(\displaystyle\frac{2^2-1}{2^2}\right)\cdot\left(\displaystyle\frac{3^2-1}{3^2}\right)\cdot\left(\displaystyle\frac{4^2-1}{4^2}\right)\cdots\left(\displaystyle\frac{n^2-1}{n^2}\right)\)

(\(k^2-1=(k-1)(k+1)\) より)

\(=\left(\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\bcancel{\displaystyle\frac{3}{2}}\right)\cdot\left(\bcancel{\displaystyle\frac{2}{3}}\cdot\bcancel{\displaystyle\frac{4}{3}}\right)\cdot\left(\bcancel{\displaystyle\frac{3}{4}}\cdot\bcancel{\displaystyle\frac{5}{4}}\right)\cdots\left(\bcancel{\displaystyle\frac{n-1}{n}}\cdot\displaystyle\frac{n+1}{n}\right)\)

\(=\displaystyle\frac{n+1}{2n}\)

よって
(与式)\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{n+1}{2n}\)

\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{1+\displaystyle\frac{1}{n}}{2}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\)

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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