(等差)×(等比)型の無限級数は、部分和を直接求めるか、微分を利用して求めることができます。
(例題)
(1)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{n}{2^n}\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{n^2}{2^n}\) をそれぞれ求めよ。
(2)\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n\cdot(\displaystyle\frac{1}{2})^{n}\) を求めよ。
(3)\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n(n-1)\cdot(\displaystyle\frac{1}{2})^{n}\) を求めよ。
(解答)
(1)
\(\displaystyle\frac{n}{2^n}=\displaystyle\frac{n}{(1+1)^n}\)
\(=\displaystyle\frac{n}{{}_n\mathrm{C}_0+{}_n\mathrm{C}_1+{}_n\mathrm{C}_2+\cdots+{}_n\mathrm{C}_n}\)
\(<\displaystyle\frac{n}{1+n+\displaystyle\frac{n(n-1)}{2}}\)
よって
\(0<\displaystyle\frac{n}{2^n}<\displaystyle\frac{n}{1+n+\displaystyle\frac{n(n-1)}{2}}\)
\(n \to \infty\) のとき、右辺は\(0\)に収束するから
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{n}{2^n}=0\)
同様に
\(0<\displaystyle\frac{n^2}{2^n}<\displaystyle\frac{n^2}{1+n+\displaystyle\frac{n(n-1)}{2}+\displaystyle\frac{n(n-1)(n-2)}{6}}\)
となるから
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{n^2}{2^n}=0\)
(2)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k\cdot(\displaystyle\frac{1}{2})^{k}=S_n\) とおく。
\(\hspace{9pt}S_n=1\cdot\displaystyle\frac{1}{2}+2\cdot\displaystyle\frac{1}{2^2}+3\cdot\displaystyle\frac{1}{2^3}+\cdots+n\cdot\displaystyle\frac{1}{2^n}\)・・・①
\(\displaystyle\frac{1}{2}S_n=\hspace{33pt}1\cdot\displaystyle\frac{1}{2^2}+2\cdot\displaystyle\frac{1}{2^3}+\cdots+(n-1)\cdot\displaystyle\frac{1}{2^n}+n\cdot\displaystyle\frac{1}{2^{n+1}}\)・・・②
①－②より
\(\displaystyle\frac{1}{2}S_n=\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{2^2}+\displaystyle\frac{1}{2^3}+\cdots+\displaystyle\frac{1}{2^n}-\displaystyle\frac{n}{2^{n+1}}\)
\(\displaystyle\frac{1}{2}S_n=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2}\{1-(\displaystyle\frac{1}{2})^n\}}{1-\displaystyle\frac{1}{2}}-\displaystyle\frac{n}{2^{n+1}}\)
よって
\(S_n=2\{1-(\displaystyle\frac{1}{2})^n\}-\displaystyle\frac{n}{2^{n}}\)
したがって、(1)の結果より
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n\cdot(\displaystyle\frac{1}{2})^{n}\)
\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}S_n\)
\(=2\)
(3)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k(k-1)\cdot(\displaystyle\frac{1}{2})^{k}=T_n\) とおく。
\(\hspace{9pt}T_n=1\cdot0\cdot\displaystyle\frac{1}{2}+2\cdot1\cdot\displaystyle\frac{1}{2^2}+3\cdot2\cdot\displaystyle\frac{1}{2^3}+\cdots+n(n-1)\cdot\displaystyle\frac{1}{2^n}\)・・・③
\(\displaystyle\frac{1}{2}T_n=\hspace{45pt}1\cdot0\cdot\displaystyle\frac{1}{2^2}+2\cdot1\cdot\displaystyle\frac{1}{2^3}+\cdots+(n-2)(n-1)\cdot\displaystyle\frac{1}{2^n}+n(n-1)\cdot\displaystyle\frac{1}{2^{n+1}}\)・・・④
③－④より
\(\displaystyle\frac{1}{2}T_n=2\cdot\displaystyle\frac{1}{2^2}+4\cdot\displaystyle\frac{1}{2^3}+\cdots+(2n-2)\cdot\displaystyle\frac{1}{2^n}-n(n-1)\cdot\displaystyle\frac{1}{2^{n+1}}\)
\(\displaystyle\frac{1}{2}T_n=\color{blue}{1\cdot\displaystyle\frac{1}{2}+2\cdot\displaystyle\frac{1}{2^2}+\cdots+(n-1)\cdot\displaystyle\frac{1}{2^{n-1}}}-n(n-1)\cdot\displaystyle\frac{1}{2^{n+1}}\)
\(\displaystyle\frac{1}{2}T_n=(S_n-\displaystyle\frac{n}{2^n})-n(n-1)\cdot\displaystyle\frac{1}{2^{n+1}}\)
よって
\(T_n=2(S_n-\displaystyle\frac{n}{2^n})-\displaystyle\frac{n^2}{2^{n}}+\displaystyle\frac{n}{2^{n}}\)
(1)(2)の結果から
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n(n-1)\cdot(\displaystyle\frac{1}{2})^{n}\)
\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}T_n\)
\(=2(2-0)-0+0\)
\(=4\)
(別解)微分を利用する方法
(2)
\(x≠1\) のとき
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x^{k}=\displaystyle\frac{x(1-x^n)}{1-x}\) (等比数列の和より)
両辺を\(x\)で微分すると
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}kx^{k-1}=\displaystyle\frac{\{1-(n+1)x^{n}\}(1-x)-(x-x^{n+1})(-1)}{(1-x)^2}\)
右辺を整理すると
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}kx^{k-1}=\displaystyle\frac{nx^{n+1}-(n+1)x^{n}+1}{(1-x)^2}\)・・・(i)
両辺\(x\)倍して
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}kx^{k}=\displaystyle\frac{nx^{n+2}-(n+1)x^{n+1}+x}{(1-x)^2}\)
\(x=\displaystyle\frac{1}{2}\) を代入して
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k(\displaystyle\frac{1}{2})^{k}=\displaystyle\frac{n(\displaystyle\frac{1}{2})^{n+2}-(n+1)(\displaystyle\frac{1}{2})^{n+1}+\displaystyle\frac{1}{2}}{(1-\displaystyle\frac{1}{2})^2}\)
\(n \to \infty\) として
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n\cdot(\displaystyle\frac{1}{2})^{n}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2}}{(\displaystyle\frac{1}{2})^2}\)
\(=2\)
(3)
(2)の(i)より
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}kx^{k-1}=\displaystyle\frac{nx^{n+1}-(n+1)x^{n}+1}{(1-x)^2}\)
両辺\(x\)で微分して、右辺を整理すると
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k(k-1)x^{k-2}=\displaystyle\frac{(-n^2+n)x^{n+1}+2(n^2-1)x^{n}-n(n+1)x^{n-1}+2}{(1-x)^3}\)
両辺\(x^2\)倍して、\(x=\displaystyle\frac{1}{2}\) を代入すると
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k(k-1)(\displaystyle\frac{1}{2})^{k}=\displaystyle\frac{(-n^2+n)(\displaystyle\frac{1}{2})^{n+3}+2(n^2-1)(\displaystyle\frac{1}{2})^{n+2}-n(n+1)(\displaystyle\frac{1}{2})^{n+1}+2(\displaystyle\frac{1}{2})^2}{(1-\displaystyle\frac{1}{2})^3}\)
\(n \to \infty\) として
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n(n-1)\cdot(\displaystyle\frac{1}{2})^{n}\)
\(=\displaystyle\frac{2(\displaystyle\frac{1}{2})^2}{(1-\displaystyle\frac{1}{2})^3}\)
\(=4\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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