引き続き、三角関数の極限の例題です。
今回は数列の色合いが強いものを扱いたいと思います。
(例題1)
(1)\(0≦θ_n≦\displaystyle\frac{π}{2}\) である数列\(\{θ_n\}\)が、\(θ_1=\displaystyle\frac{π}{2}\)
\(\sinθ_{n+1}=\displaystyle\frac{\sqrt{1-\sqrt{1-\sin^2θ_n}}}{\sqrt{2}}\) (\(n=1,2,\cdots\))
を満たすとき、数列\(\{θ_n\}\)の極限 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}θ_n\) を求めよ。
(2)\(a\)を正の実数とする。(1)の数列\(\{θ_n\}\)を用いて、数列\(\{x_n\}\) を
\(x_n=\displaystyle\frac{\sinθ_n}{a^n}\)
と定める。数列\(\{x_n\}\)が\(0\)でない実数\(k\)に収束するとき、\(a\)と\(k\)の値を求めよ。
(解答)
(1)
\(0≦θ_n≦\displaystyle\frac{π}{2}\) に注意して
\(\displaystyle\frac{\sqrt{1-\sqrt{1-\sin^2θ_n}}}{\sqrt{2}}\)\(=\displaystyle\frac{\sqrt{1-\sqrt{\cos^2θ_n}}}{\sqrt{2}}\)\(=\displaystyle\frac{\sqrt{1-|\cosθ_n|}}{\sqrt{2}}\)
\(=\displaystyle\frac{\sqrt{1-\cosθ_n}}{\sqrt{2}}\)
(半角の公式より)
\(=\displaystyle\frac{\sqrt{2\sin^2\displaystyle\frac{θ_n}{2}}}{\sqrt{2}}=\left|\sin\displaystyle\frac{θ_n}{2}\right|=\sin\displaystyle\frac{θ_n}{2}\)
よって
\(\sinθ_{n+1}=\sin\displaystyle\frac{θ_n}{2}\)・・・①
が成り立つ。
(\(θ_n,\displaystyle\frac{θ_n}{2}\)の範囲から単純に中身比較できる)
ここで、\(0≦θ_{n+1}≦\displaystyle\frac{π}{2}\)、\(0≦\displaystyle\frac{θ_n}{2}≦\displaystyle\frac{π}{4}\) だから①より
\(θ_{n+1}=\displaystyle\frac{θ_n}{2}\)・・・② (等比型)
\(θ_1=\displaystyle\frac{π}{2}\) だから②より
\(θ_{n}=\displaystyle\frac{π}{2}\cdot(\displaystyle\frac{1}{2})^{n-1}\)
したがって
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}θ_n=0\)
(2)
(1)より、\(θ_{n}=\displaystyle\frac{π}{2^n}\) だから
\(x_n=\displaystyle\frac{\sin\displaystyle\frac{π}{2^n}}{a^n}=\color{blue}{\displaystyle\frac{\sin\displaystyle\frac{π}{2^n}}{\displaystyle\frac{π}{2^n}}\cdotπ\cdot(\displaystyle\frac{1}{2a})^n}\)
ここで、\(n \to \infty\) のとき、\(\displaystyle\frac{\sin\displaystyle\frac{π}{2^n}}{\displaystyle\frac{π}{2^n}} \to 1\) だから、\(\{x_n\}\)が\(0\)でない実数\(k\)に収束するとき、\(\displaystyle\frac{1}{2a}=1\)。つまり、\(a=\displaystyle\frac{1}{2}\)
このとき、極限値\(k\)は \(k=π\)
(例題2)
初項が \(a_1=\cos\displaystyle\frac{π}{6}\)、第2項が \(a_2=\cos\displaystyle\frac{π}{6}\cos\displaystyle\frac{π}{12}\)、一般項が
\(a_n=\cos\displaystyle\frac{π}{3\cdot2}\cos\displaystyle\frac{π}{3\cdot2^2}\cdots\cos\displaystyle\frac{π}{3\cdot2^{n}}\) (\(n=1,2,\cdots\))
で与えられる数列の極限 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n\) の値を求めよ。
(解答)
\(θ=\displaystyle\frac{π}{3}\) とおくと (見やすくする)
\(a_n=\cos\displaystyle\frac{θ}{2}\cos\displaystyle\frac{θ}{2^2}\cdots\cos\displaystyle\frac{θ}{2^{n-1}}\cos\displaystyle\frac{θ}{2^{n}}\)・・・①
①の両辺に\(\sin\displaystyle\frac{θ}{2^{n}}\)を掛けると
\(a_n\sin\displaystyle\frac{θ}{2^{n}}=\cos\displaystyle\frac{θ}{2}\cos\displaystyle\frac{θ}{2^2}\cdots\cos\displaystyle\frac{θ}{2^{n-1}}\cdot\displaystyle\frac{1}{2}\sin\displaystyle\frac{θ}{2^{n-1}}\)
右辺で、\(\sin t\cos t=\displaystyle\frac{1}{2}\sin2t\) を繰り返し用いると
\(a_n\sin\displaystyle\frac{θ}{2^{n}}=\displaystyle\frac{1}{2^n}\sinθ\)・・・②
(\(2^n\)から指数を\(1\)つ減らすと\(\displaystyle\frac{1}{2}\)倍。全部で\(n\)個減らすことになる)
よって②から \(\sin\displaystyle\frac{θ}{2^{n}}=\sin\displaystyle\frac{π}{3\cdot2^{n}}≠0\) であるから
\(a_n=\displaystyle\frac{\sinθ}{2^n\sin\displaystyle\frac{θ}{2^{n}}}\)
ゆえに \(θ=\displaystyle\frac{π}{3}\) (定数) に注意して
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sinθ\cdot\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{θ}{2^n}}{\sin\displaystyle\frac{θ}{2^{n}}}\cdot\displaystyle\frac{1}{θ}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{θ}\cdot\sinθ=\displaystyle\frac{3}{π}\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=\displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{2π}\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
next→図形と三角関数の極限 back→三角関数の極限②