命題の真偽①

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・命題と条件
文字や式で表現された主張で、正しいか正しくないかが定まるものを命題といいます。命題が正しいときその命題は真、正しくないときは偽であるといいます。

例) (命題) \(x＞1\) ならば、\(x＞0\) (真)

\(x>1\) のように文字 \(x\) の値を変えると真偽が変わる事柄を\(x\)に関する条件といいます。
(\(x=3\)は真、\(x=-5\)は偽)

(条件\(x＞1\))を \(p\)、(条件\(x＞0\))を \(q\) とおくと 例)は

\(p\) ならば \(q\) 　　すなわち　　\(p→q\)

と書くことができます。\(p\)をこの命題の仮定、\(q\)を結論といいます。

(\(p\leftrightarrow q\)は、「\(p→q\)　かつ　\(q→p\)」を表します)

※命題は真偽が明確に決まるものでなくてはなりません。「\(4\)は不吉な数字である」のように不明確な表現が含まれる場合、命題とはいえません。

一般に命題が真であることを証明するより、偽であることを証明するほうが楽なことが多いです。偽であることを示すには命題が成り立たない例を１つでもあげればよいからです。そのような例を反例といいます。

少し問題を解いてみてみましょう。

(問題) 次の命題の真偽を調べよ。ただし\(x,y\)は実数とする。
① \(x^2=4\) ならば \(x=2\)
② \(x+y＞0\) かつ \(xy＞0\) ならば  \(x＞0\) かつ \(y＞0\)