命題の真偽①

→高校数学TOP

 

・命題と条件
文字や式で表現された主張で、正しいか正しくないかが定まるものを命題といいます。命題が正しいときその命題は、正しくないときはであるといいます。

例) (命題) \(x>1\) ならば、\(x>0\) (真)

\(x>1\) のように文字 \(x\) の値を変えると真偽が変わる事柄を\(x\)に関する条件といいます。
(\(x=3\)は真、\(x=-5\)は偽)

(条件\(x>1\))を \(p\)、(条件\(x>0\))を \(q\) とおくと 例)は

\(p\) ならば \(q\)   すなわち  \(p→q\)

と書くことができます。\(p\)をこの命題の仮定、\(q\)を結論といいます。

(\(p\leftrightarrow q\)は、「\(p→q\) かつ \(q→p\)」を表します)

 

※命題は真偽が明確に決まるものでなくてはなりません。「\(4\)は不吉な数字である」のように不明確な表現が含まれる場合、命題とはいえません。

 

一般に命題が真であることを証明するより、偽であることを証明するほうが楽なことが多いです。偽であることを示すには命題が成り立たない例を1つでもあげればよいからです。そのような例を反例といいます。

 

少し問題を解いてみてみましょう。

(問題) 次の命題の真偽を調べよ。ただし\(x,y\)は実数とする。
① \(x^2=4\) ならば \(x=2\)
② \(x+y>0\) かつ \(xy>0\) ならば  \(x>0\) かつ \(y>0\)

(解答)
 (反例 \(x=-2\))
②\(xy>0\) ならば (\(x>0\) かつ \(y>0\)) または (\(x<0\) かつ \(y<0\))
\(x+y>0\)だから (\(x<0\) かつ \(y<0\))ではない。
よって

 

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで読んで頂きありがとうございました。
タイトルとURLをコピーしました