等式での有理数・無理数の関係を見ていきましょう。
(問題)
(1)\(a,b\)が有理数のとき、\(a+b\sqrt{2}=0\) ならば \(a=b=0\)であることを証明せよ。
ただし\(\sqrt{2}\)が無理数であることは証明なしで使ってもよい。
(2)等式 \((1+3\sqrt{2})x+(2-\sqrt{2})y+1=0\) を満たす有理数\(x,y\)の値を求めよ。
(解答)
(1)は背理法を使います。(2)は(1)を利用します。
(1)
\(b≠0\)と仮定すると、\(a+b\sqrt{2}=0\)から
\(\sqrt{2}=-\displaystyle\frac{a}{b}\)・・・①
①の左辺は無理数、右辺は有理数であるから矛盾している。
よって仮定\(b≠0\)は誤りで、\(b=0\)
また\(a+b\sqrt{2}=0\) から \(a=0\)
(2)
与式を変形して
\((x+2y+1)+(3x-y)\sqrt{2}=0\)
\(x+2y+1,3x-y\) は有理数なので(1)より
\(x+2y+1=0\) ・・・②
\(3x-y=0\)・・・③
②,③を解いて、\(x=-\displaystyle\frac{1}{7}\) \(y=-\displaystyle\frac{3}{7}\)
一般的に次のことが成り立ちます。
\(a,b,c,d\)を有理数、\(\sqrt{k}\)を無理数とするとき
(A) \(a+b\sqrt{k}=0\) \(\leftrightarrow\) \(a=b=0\)
(B) \(a+b\sqrt{k}=c+d\sqrt{k}\) \(\leftrightarrow\) \(a=c,b=d\)
(A) \(a+b\sqrt{k}=0\) \(\leftrightarrow\) \(a=b=0\)
(B) \(a+b\sqrt{k}=c+d\sqrt{k}\) \(\leftrightarrow\) \(a=c,b=d\)
\(→\)から説明します。
(A)の証明は上の問題(1)と同様に示せます。
(B)は右辺を左辺に移項して、
\((a-c)+(b-d)\sqrt{k}=0\)
\(a-c,b-d\) は有理数なので(A)より \(a-c=0,b-d=0\)
よって\(a=c,b=d\)
\(←\)は明らかです。
(B)から単純に両辺を比較してもいいことがわかります。
以上になります。お疲れ様でした。
ここまで読んで頂きありがとうございました。
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