(問題1)
\(x≧0\), \(y≧0\), \(x+y=4\) のとき、\(3x^2+2y^2\)の最大値と最小値を求めよ。
等式 \(x+y=4\) から1文字消去できるので、実質的に1変数関数です。文字を消去するときは変数の変域に気を付けてください。\(y\)を消去すると、2変数関数は\(x\)の関数になりますが、\(x\)が\(x≧0\)の任意の数をとるわけではなく、\(y≧0\)からその一部になります。
(解答)
\(x+y=4\) より \(y=4-x\)・・・①
\(y≧0\) から \(4-x≧0\) より \(x≦4\)・・・②
\(x≧0\) とあわせて \(0≦x≦4\)・・・③
\(x+y=4\) より \(y=4-x\)・・・①
\(y≧0\) から \(4-x≧0\) より \(x≦4\)・・・②
\(x≧0\) とあわせて \(0≦x≦4\)・・・③
よって①より
\(3x^2+2y^2\)
\(=3x^2+2(4-x)^2\)
\(=5x^2-16x+32\)
\(=5(x-\displaystyle\frac{8}{5})^2+\displaystyle\frac{96}{5}\) (③\(0≦x≦4\))
\(3x^2+2y^2\)
\(=3x^2+2(4-x)^2\)
\(=5x^2-16x+32\)
\(=5(x-\displaystyle\frac{8}{5})^2+\displaystyle\frac{96}{5}\) (③\(0≦x≦4\))
ゆえに\(x=4\)のとき 最大値\(48\)をとり、このとき①より\(y=0\)
また\(x=\displaystyle\frac{8}{5}\)のとき 最小値\(\displaystyle\frac{96}{5}\)をとり、このとき①より\(y=\displaystyle\frac{12}{5}\)
また\(x=\displaystyle\frac{8}{5}\)のとき 最小値\(\displaystyle\frac{96}{5}\)をとり、このとき①より\(y=\displaystyle\frac{12}{5}\)
(答)
\((x,y)=(4,0)\) のとき 最大値 \(48\)
\((x,y)=(\displaystyle\frac{8}{5},\displaystyle\frac{12}{5})\) のとき 最小値\(\displaystyle\frac{96}{5}\)
(問題2)
実数\(x,y\)の間に、\(3x^2+2y^2=6x\) の関係があるとき、\(x^2+y^2\) の最大値と最小値を求めよ。
\(3x^2+2y^2=6x\) から \(y^2=\displaystyle\frac{1}{2}(6x-3x^2)\)・・・①なので、\(y^2\)を消去して、\(x\)の1変数関数とします。今回も文字を消去するときは変域に注意です。\(x\)がなんでも好きな値をとれるわけではなく、①より\(y\)が実数であることから (①の左辺)\(≧0\) より (①の右辺)\(≧0\) で\(x\)の変域が限定されます。
(解答)
\(3x^2+2y^2=6x\) より \(y^2=\displaystyle\frac{1}{2}(6x-3x^2)\)・・・①
\(y\)が実数であることから \(y^2≧0\) より \(6x-3x^2≧0\)
これを解くと \(0≦x≦2\)・・・②
\(3x^2+2y^2=6x\) より \(y^2=\displaystyle\frac{1}{2}(6x-3x^2)\)・・・①
\(y\)が実数であることから \(y^2≧0\) より \(6x-3x^2≧0\)
これを解くと \(0≦x≦2\)・・・②
ゆえに ①から
\(x^2+y^2\)
\(=x^2+\displaystyle\frac{1}{2}(6x-3x^2)\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{2}x^2+3x\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{2}(x-3)^2+\displaystyle\frac{9}{2}\) (②\(0≦x≦2\))
\(x^2+y^2\)
\(=x^2+\displaystyle\frac{1}{2}(6x-3x^2)\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{2}x^2+3x\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{2}(x-3)^2+\displaystyle\frac{9}{2}\) (②\(0≦x≦2\))
よって \(x=2\)のとき最大値\(4\)をとり、このとき①より\(y=0\)
また \(x=0\)のとき最小値\(0\)をとり、このとき①より\(y=0\)
また \(x=0\)のとき最小値\(0\)をとり、このとき①より\(y=0\)
(答)
\((x,y)=(2,0)\) のとき 最大値 \(4\)
\((x,y)=(0,0)\) のとき 最小値 \(0\)
\((x,y)=(2,0)\) のとき 最大値 \(4\)
\((x,y)=(0,0)\) のとき 最小値 \(0\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。