(問題1)
\(x,y\)の関数 \(x^2+2y^2-6x+4y-2\) の最小値を求めよ。
\(x,y\)がそれぞれ自由に(独立して)動ける2変数関数です。
\(x,y\)の次数が2なので、平方完成して (整式)\(^2\)\(≧0\) を利用します。まず\(y\)を定数とみて\(x\)の2次関数として平方完成します。そのあと\(y\)について平方完成します。
\(x,y\)の次数が2なので、平方完成して (整式)\(^2\)\(≧0\) を利用します。まず\(y\)を定数とみて\(x\)の2次関数として平方完成します。そのあと\(y\)について平方完成します。
(解答)
(与式)
\(=(x-3)^2-9+2y^2+4y-2\)
\(=(x-3)^2+2(y+1)^2-2-11\)
\(=(x-3)^2+2(y+1)^2-13\)
(与式)
\(=(x-3)^2-9+2y^2+4y-2\)
\(=(x-3)^2+2(y+1)^2-2-11\)
\(=(x-3)^2+2(y+1)^2-13\)
よって \(x-3=0\), \(y+1=0\) のとき最小値\(-13\)をとる。
(答) \(x=3\) \(y=-1\) のとき 最小値\(-13\)
(問題2)
\(x,y\)の関数 \(6x^2+6xy+3y^2-6x-4y+3\) の最小値を求めよ。
\(x,y\)の関数 \(6x^2+6xy+3y^2-6x-4y+3\) の最小値を求めよ。
今度は\(xy\)の項がありますが、気にせず\(x\)の2次関数とみて、\(x\)について整理し平方完成します。
(解答)
(与式)
\(=6x^2+6(y-1)x+3y^2-4y+3\)
\(=6(x+\displaystyle\frac{y-1}{2})^2-6\displaystyle\frac{(y-1)^2}{4}+3y^2-4y+3\)
\(=6(x+\displaystyle\frac{y-1}{2})^2+\displaystyle\frac{3y^2}{2}-y+\displaystyle\frac{3}{2}\)
\(=6(x+\displaystyle\frac{y-1}{2})^2+\displaystyle\frac{3}{2}(y-\displaystyle\frac{1}{3})^2+\displaystyle\frac{4}{3}\)
(与式)
\(=6x^2+6(y-1)x+3y^2-4y+3\)
\(=6(x+\displaystyle\frac{y-1}{2})^2-6\displaystyle\frac{(y-1)^2}{4}+3y^2-4y+3\)
\(=6(x+\displaystyle\frac{y-1}{2})^2+\displaystyle\frac{3y^2}{2}-y+\displaystyle\frac{3}{2}\)
\(=6(x+\displaystyle\frac{y-1}{2})^2+\displaystyle\frac{3}{2}(y-\displaystyle\frac{1}{3})^2+\displaystyle\frac{4}{3}\)
よって \(x+\displaystyle\frac{y-1}{2}=0\) ・・・① かつ \(y-\displaystyle\frac{1}{3}=0\)・・・② のとき 最小値\(\displaystyle\frac{4}{3}\)をとる。
①②を解いて、 \(x=\displaystyle\frac{1}{3}\), \(y=\displaystyle\frac{1}{3}\)
①②を解いて、 \(x=\displaystyle\frac{1}{3}\), \(y=\displaystyle\frac{1}{3}\)
(答) \(x=\displaystyle\frac{1}{3}\), \(y=\displaystyle\frac{1}{3}\) のとき 最小値\(\displaystyle\frac{4}{3}\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。