(問題)
\(x≧0\), \(y≧0\), \(x+y≦2\) を同時に満たす\(x,y\)に対し、
\(z=2xy+ax+4y\) の最大値を求めよ。ただし\(a\)は負の定数とする。
\(x,y\)にはある程度の条件が課されていますが、等式の関係式がないため、\(x,y\)は独立しています。ではどうやって解くかというと、2変数がそれぞれ自由に動くと考えると難しくなるため、まず片方を固定し1変数関数として考えます。
(解答)
\(x+y≦2\) より \(y≦2-x\) 、\(y≧0\)とあわせて \(0≦y≦2-x\)
\(x+y≦2\) より \(y≦2-x\) 、\(y≧0\)とあわせて \(0≦y≦2-x\)
\(x\)を固定すると、\(z\)は\(y\)の1次関数となり
\(z=(2x+4)y+ax\) (ただし\(0≦y≦2-x\)) ・・・①
\(z=(2x+4)y+ax\) (ただし\(0≦y≦2-x\)) ・・・①
\(x≧0\)から \(2x+4>0\)より①の\(y\)の一次関数の最大値は \(y=2-x\)・・・(※)のときの値なので
\((2x+4)(2-x)+ax=-2x^2+ax+8\)・・・②
\((2x+4)(2-x)+ax=-2x^2+ax+8\)・・・②
②は固定したさまざまな\(x_1,x_2,x_3・・・\)での①での最大値です。よって②で\(x\)を変数として動かせば(\(x_1,x_2,x_3・・・\)の中での最大値を求めれば)、全体としての最大値が求まります。
固定した\(x_1\)の①での最大値を\(x_1\)予選での予選優勝者とみて(参加者全部は \(0≦y≦2-x_1\)での\(z\)の値)、②では各\(x_1,x_2,x_3・・・\)予選の優勝者の中から決勝で全体としての優勝者を決めるので、この解法は予選決勝法ともよばれます。
ここで\(x\)を動かすと②は\(x\)の2次関数。\(x+y≦2\) より \(x≦2-y≦2\) (∵ \(y≧0\)) と \(x≧0\) より、②の関数の\(x\)の定義域は \(0≦x≦2\)
\(a<0\)よりこの定義域内では②は減少関数となるので 最大値は \(x=0\) のときの値 \(8\) このとき \(y=2-x\)・・・(※)より \(y=2\)
\(a<0\)よりこの定義域内では②は減少関数となるので 最大値は \(x=0\) のときの値 \(8\) このとき \(y=2-x\)・・・(※)より \(y=2\)
以上により、最大値は\(8\) (\(x=0,y=2\))
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。