(問題)
不等式 \(ax^2-(a-2)x+1>0\) がすべての実数\(x\)に対して成り立つように、定数\(a\)の値の範囲を求めよ。
どんな\(x\)についても常に正の値をとるということです。左辺が正の定数か、2次関数なら下に凸で、\(x\)軸と交わらないグラフになりそうですね。2乗の係数が文字なので場合わけします。
(解答)
(1)\(a=0\)のとき 不等式は \(2x+1>0\) となり、
\(x>-\displaystyle\frac{1}{2}\) の範囲でしか成り立たず不適
\(x>-\displaystyle\frac{1}{2}\) の範囲でしか成り立たず不適
(2)\(a≠0\)のとき
不等式がすべての\(x\)について成り立つ条件は、
\(y=ax^2-(a-2)x+1\) のグラフが下に凸で、\(x\)軸より上側にあることである。
つまり,\(a>0\)・・・① かつ 判別式 \(D<0\)・・・②
不等式がすべての\(x\)について成り立つ条件は、
\(y=ax^2-(a-2)x+1\) のグラフが下に凸で、\(x\)軸より上側にあることである。
つまり,\(a>0\)・・・① かつ 判別式 \(D<0\)・・・②
\(D<0\)を解くと
\(D=(a-2)^2-4a<0\)
\(a^2-8a+4<0\)
\(a^2-8a+4=0\)とすると、\(x=4±2\sqrt{3}\)より
\(D=(a-2)^2-4a<0\)
\(a^2-8a+4<0\)
\(a^2-8a+4=0\)とすると、\(x=4±2\sqrt{3}\)より
②の解は、\(4-2\sqrt{3}<a<4+2\sqrt{3}\)
これは① \(a>0\) を満たす。
これは① \(a>0\) を満たす。
以上より、求める\(a\)の範囲は
\(4-2\sqrt{3}<a<4+2\sqrt{3}\)
\(4-2\sqrt{3}<a<4+2\sqrt{3}\)
判別式の符号は負です。与式の左辺が正だからといって\(D>0\)ではありません。
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。