極と極線

接点の座標を具体的に求めずに処理する例題です。

(例題1)
\(a>0\)、\(b>0\) とする。
(1)楕円\(C_1:\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1\) の外部の点 \((p,q)\) を通る\(C_1\)の2本の接線の接点をそれぞれ\(A_1,A_2\)とする。直線\(A_1A_2\)の方程式は、\(\displaystyle\frac{px}{a^2}+\displaystyle\frac{qy}{b^2}=1\) であることを示せ。

(2)点 \((p,q)\) が 双曲線\(C_2:\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1\) 上の点であるとき、直線 \(\displaystyle\frac{px}{a^2}+\displaystyle\frac{qy}{b^2}=1\) は\(C_2\)に接することを示せ。

(解答)
(1)

楕円\(C_1:\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1\)

上の2点 \(A_1(x_1,y_1)\)、\(A_2(x_2,y_2)\) における接線はそれぞれ
\(\displaystyle\frac{x_1x}{a^2}+\displaystyle\frac{y_1y}{b^2}=1\)・・・①
\(\displaystyle\frac{x_2x}{a^2}+\displaystyle\frac{y_2y}{b^2}=1\)・・・②

①②は\((p,q)\)を通るから
\(\displaystyle\frac{x_1p}{a^2}+\displaystyle\frac{y_1p}{b^2}=1\)
\(\displaystyle\frac{x_2p}{a^2}+\displaystyle\frac{y_2q}{b^2}=1\)

文字の順番を入れかえると
\(\displaystyle\frac{px_1}{a^2}+\displaystyle\frac{qy_1}{b^2}=1\)・・・③
\(\displaystyle\frac{px_2}{a^2}+\displaystyle\frac{qy_2}{b^2}=1\)・・・④

③④は直線
\(\displaystyle\frac{px}{a^2}+\displaystyle\frac{qy}{b^2}=1\)・・・⑤
が、2点 \(A_1(x_1,y_1),\ A_2(x_2,y_2)\) を通ることを示している。\(A_1,A_2\)は異なる2点だからこの2点を通る直線はただ1つ存在しそれは⑤である。

(2)

\(C_2:\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1\)・・・⑥

\((p,q)\)は⑥上にあるから
\(\displaystyle\frac{p^2}{a^2}-\displaystyle\frac{q^2}{b^2}=1\)

ここで、
\(\displaystyle\frac{p^2}{a^2}-\displaystyle\frac{(-q)^2}{b^2}=\displaystyle\frac{p^2}{a^2}-\displaystyle\frac{q^2}{b^2}=1\)
より、\((p,-q)\)も双曲線⑥上の点である。

\((p,-q)\)における⑥の接線は
\(\displaystyle\frac{px}{a^2}-\displaystyle\frac{(-q)y}{b^2}=1\)
つまり
\(\displaystyle\frac{px}{a^2}+\displaystyle\frac{qy}{b^2}=1\)・・・⑦
だから、直線⑦は双曲線\(C_2\)に接する。よって題意は示された。

(例題2)
2つの双曲線 \(C:x^2-y^2=1\)、\(D:x^2-y^2=-1\) を考える。\(C\)上の点 \(P(a,b)\) (\(a>0\)) に対して、\(C\)の\(P\)における接線と\(D\)との2交点を\(Q,Q’\)とする。そして、\(D\)の\(Q\)における接線と\(D\)の\(Q’\)における接線との交点を\(R\)とする。このように点\(P\)に対して点\(R\)を対応させる。点\(P\)が\(C\)の \(x>0\) の部分を動くとき、点\(R\)の軌跡を求めよ。

(解答)

\(R(X,Y)\)、\(Q(x_1,y_1)\)、\(Q'(x_2,y_2)\) とおく。
\(Q,Q’\)における\(D\)の接線はそれぞれ
\(x_1x-y_1y=-1\)・・・①
\(x_2x-y_2y=-1\)・・・②

①②は\((X,Y)\)を通るので(積の順序も入れかえると)
\(Xx_1-Yy_1=-1\)・・・③
\(Xx_2-Yy_2=-1\)・・・④

③④は
直線 \(Xx-Yy=-1\)・・・⑤
が \(Q(x_1,y_1)\)、\(Q'(x_2,y_2)\) を通ることを表して、\(Q,Q’\)は異なる2点なので直線⑤は直線\(QQ’\)の方程式である。

\(P(a,b)\)における\(C\)の接線は
\(ax-by=1\) つまり
\(-ax+by=-1\)
であり、これが⑤と一致するので
\(X=-a\)、\(Y=-b\)・・・⑥

\(P(a,b)\)は\(C\)上 (\(x>0\)) の点なので
\(a^2-b^2=1\)　(\(a>0\))・・・⑦

⑥を⑦に代入して
\((-X)^2-(-Y)^2=1\)　(\(-X>0\))

したがって\(R\)軌跡は
双曲線 \(x^2-y^2=1\)　(\(x<0\))

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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