2次曲線に関する最大最小問題です。
(例題1)
点\(P\)は \(3x^2+16y^2=1\) の周上にある。このとき、点\(P\)の直線 \(3x+4y=4\) までの距離の最大値と最小値を求めよ。
(解答1)接線を利用
\(3x+4y=4\)・・・①
①を平行移動した直線の方程式は
\(3x+4y=k\)・・・②
②が楕円と共有点をもつとき、①と②の距離が点\(P\)と直線①の距離になるので、②と楕円が接する場合を考えればよい。
②より \(4y=-3x+k\)
これを
\(3x^2+16y^2=1\)
に代入して
\(3x^2+(-3x+k)^2=1\)
整理すると
\(12x^2-6kx+k^2-1=0\)
判別式を考えて
\((-3k)^2-12(k^2-1)=0\)
よって
\(k^2=4\)
\(k=±2\)
ゆえに接線は
\(3x+4y=2\)・・・③
\(3x+4y=-2\)・・・④
となり、これらと①との距離がそれぞれ題意の最大最小値になる。
\(3x+4y-4=0\)・・・①
と③上の点 \((0,\displaystyle\frac{1}{2})\) との距離が最小値で
\(\displaystyle\frac{|2-4|}{\sqrt{9+16}}=\)\(\displaystyle\frac{2}{5}\)
①と③上の点 \((0,-\displaystyle\frac{1}{2})\) との距離が最大値で
\(\displaystyle\frac{|-2-4|}{\sqrt{9+16}}=\)\(\displaystyle\frac{6}{5}\)
(解答2)媒介変数
点\(P\)は \(3x^2+16y^2=1\) の点なので
\(P(\displaystyle\frac{\cosθ}{\sqrt{3}},\ \displaystyle\frac{\sinθ}{4})\) (\(0≦θ<2π\))
とおける。
\(P\)と 直線 \(3x+4y-4=0\) の距離は
\(\displaystyle\frac{|\sqrt{3}\cosθ+\sinθ-4|}{\sqrt{9+16}}\)
(合成をして)
\(=\displaystyle\frac{|2\sin(θ+\displaystyle\frac{π}{3})-4|}{5}\)
\(-1≦\sin(θ+\displaystyle\frac{π}{3})≦1\)
だから、
\(-6≦2\sin(θ+\displaystyle\frac{π}{3})-4≦-2\)
したがって最大値と最小値はそれぞれ
\(\displaystyle\frac{6}{5},\displaystyle\frac{2}{5}\)
(参考)
媒介変数表示のよさは変数を1つにできる点です。仮に2変数で処理していくと
\(3X^2+16Y^2=1\) の点 \(P(X,Y)\) と 直線 \(3x+4y-4=0\) の距離\(L\)は
\(L=\displaystyle\frac{|3X+4Y-4|}{5}\)
あとは \(3X^2+16Y^2=1\)・・・(i) を満たす場合の \(3X+4Y\) の最大値最小値を求めればよい。例えば \(3X+4Y=k\) とおいてこれを楕円の方程式(i)に代入して (判別式)≧0 を調べるなどをすればよい。
(例題2)
\(x,y\)は実数であり、\(2x^2+3y^2=1\) を満たす。このとき \(x^2-y^2+xy\) の最大値を求めよ。
\(2x^2+3y^2=1\) を満たす \(x,y\) は
\(x=\displaystyle\frac{\cosθ}{\sqrt{2}}\)、\(y=\displaystyle\frac{\sinθ}{\sqrt{3}}\) (\(0≦θ<2π\))
と表せる。このとき
\(x^2-y^2+xy\)
\(=\displaystyle\frac{\cos^2θ}{2}-\displaystyle\frac{\sin^2θ}{3}+\displaystyle\frac{\sinθ\cosθ}{\sqrt{6}}\)
(2次式なので\(2θ\)に統一する)
\(=\displaystyle\frac{1+\cos2θ}{4}-\displaystyle\frac{1-\cos2θ}{6}+\displaystyle\frac{\sin2θ}{2\sqrt{6}}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{12}(\sqrt{6}\sin2θ+5\cos2θ)+\displaystyle\frac{1}{12}\)
(合成して)
\(=\displaystyle\frac{\sqrt{31}}{12}\sin(2θ+α)+\displaystyle\frac{1}{12}\)
(ただし、\(\cosα=\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{31}},\ \sinα=\displaystyle\frac{5}{\sqrt{31}}\))
\(-1≦\sin(2θ+α)≦1\) だから、最大値は
\(\displaystyle\frac{\sqrt{31}+1}{12}\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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