三角比の等式の証明問題について見ていきます。辺と角が混じっている等式については、辺か角のどちらかに統一することになりますが、数Ⅰの範囲では角についての変形の知識が少ないため辺に統一することになります。角のみの等式の場合も同様に辺のみの式に変形します。
(問題)三角形\(ABC\)において、次の等式を証明せよ。
\(\sin^2B+\sin^2C-2\sin B\sin C\cos A=\sin^2A\)
等式の証明には(数Ⅱの範囲)
(1)(左辺)\(-\)(右辺)\(=0\) を示す
(2)左辺を変形して右辺を導く
(3)左辺と右辺を変形して同じ式を導く
などといった方法がありますが、今回は(1)の方法をとります。
(1)(左辺)\(-\)(右辺)\(=0\) を示す
(2)左辺を変形して右辺を導く
(3)左辺と右辺を変形して同じ式を導く
などといった方法がありますが、今回は(1)の方法をとります。
(解答)
\(△ABC\)の外接円の半径を\(R\)として、正弦定理と余弦定理を用いると
\(△ABC\)の外接円の半径を\(R\)として、正弦定理と余弦定理を用いると
(左辺)\(-\)(右辺)
\(=\sin^2B+\sin^2C-2\sin B\sin C\cos A-\sin^2A\)
\(=\sin^2B+\sin^2C-2\sin B\sin C\cos A-\sin^2A\)
\(=(\displaystyle\frac{b}{2R})^2+(\displaystyle\frac{c}{2R})^2-2・\displaystyle\frac{b}{2R}・\displaystyle\frac{c}{2R}・\displaystyle\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}-(\displaystyle\frac{a}{2R})^2\)
\(=\displaystyle\frac{1}{4R^2}\{b^2+c^2-(b^2+c^2-a^2)-a^2\}\)
\(=0\)
よって、与式は成り立つ。
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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