解が三角関数となる2次方程式

2次方程式の解が三角関数となる問題について見ていきます。

 

(例題)
\(4x^2+2(\sqrt{3}-1)x+c\)\(=0\) の2つの解が \(\sinθ\),\(\cosθ\) とかける場合の定数\(c\)の値を求めよ。またこのとき、\(\sinθ\),\(\cosθ\) の値を求めよ。

 

 

解と係数の関係から 「和 \(\sinθ+\cosθ\) と 積 \(\sinθ\cosθ\)」について考えていきます。

(解答)
解と係数の関係から
\(\sinθ+\cosθ\)\(=\displaystyle\frac{-2(\sqrt{3}-1)}{4}\)\(=\displaystyle\frac{1-\sqrt{3}}{2}\)・・・①
\(\sinθ\cosθ\)\(=\displaystyle\frac{c}{4}\)
・・・②

①式を2乗して\(\sinθ\cosθ\)を求めて、②に代入して\(c\)を出します。

①式を2乗すると
\(\sin^2θ+\cos^2θ+2\sinθ\cosθ\)\(=\displaystyle\frac{4-2\sqrt{3}}{4}\)
\(1+2\sinθ\cosθ\)\(=\displaystyle\frac{2-\sqrt{3}}{2}\)
よって
\(\sinθ\cosθ=-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}\)

②から
\(c\)\(=4\sinθ\cosθ\)\(=-\sqrt{3}\)

また与えられた2次方程式は
\(4x^2+2(\sqrt{3}-1)x-\sqrt{3}\)\(=0\) となるから
\((2x+\sqrt{3})(2x-1)\)\(=0\)
\(x=-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\),\(\displaystyle\frac{1}{2}\)

よって2解\(\sinθ\),\(\cosθ\)は
\((\sinθ,\cosθ)\)\(=(-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2},\displaystyle\frac{1}{2})\), \((\displaystyle\frac{1}{2},-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2})\)

 

特に他に条件がないため、2組とも答えとなります。

 

 

 

 

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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