三角関数の合成を利用して、方程式・不等式を解いていきます。
(例題)次の方程式・不等式を解け。
(1)\(\sinθ-\sqrt{3}\cosθ-1=0\) (\(0°≦θ<360°\))
(2)\(\sqrt{2}(\sin2x+\cos2x)\)\(≧1\) (\(0°<x<180°\))
(3)\(2\cos^2x+2\sin x\cos x\)\(=1+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\) (\(0°<x<180°\))
(解答)
(1)
\(\sinθ-\sqrt{3}\cosθ-1=0\) より、合成すると
\(2\sin(θ-60°)-1\)\(=0\)
\(\sin(θ-60°)\)\(=\displaystyle\frac{1}{2}\)・・・①
ここで、(\(0°≦θ<360°\)) から
\(-60°≦θ-60°<300°\)・・・②
よって、②の範囲で①を満たす\(θ\)は
\(θ-60°=30°,150°\)
したがって
\(θ=90°,210°\)
(2)
\(\sin2x+\cos2x\)\(≧\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\)
合成して
\(\sqrt{2}\sin(2x+45°)\)\(≧\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\)
よって
\(\sin(2x+45°)\)\(≧\displaystyle\frac{1}{2}\)・・・③
また、(\(0°<x<180°\)) より
\(45°<2x+45°<405°\)・・・④
④の範囲で③を満たす\(x\)の範囲は
\(45°<2x+45°≦150°\)
\(390°≦2x+45°<405°\)
したがって\(x\)について解くと
\(0°<x≦52.5°\) または \(172.5°≦x<180°\)
(3)
よって他の変換の公式(半角の公式)を使います。すると\(\cos^2x\)の部分は \(\cos2x\) の式に、残りの\(\sin x\cos x\)の部分は\(\sin2x\)の式になり、ちょうど合成が使える形になります。
一般に、半角の公式を利用すれば、\(\sin^2θ\),\(\cos^2θ\) は\(\cos2θ\)の式に、
\(\sinθ\cosθ\)は\(\sin2θ\) の式になるので、\(\sinθ\)と\(\cosθ\) の2次式(1次の項は無い)は、\(2θ\)の式に変形することができます。
\(2\cos^2x=1+\cos2x\),
\(2\sin x\cos x=\sin2x\) より与式は
\(1+\cos2x+\sin2x\)\(=1+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\)
よって
\(\cos2x+\sin2x\)\(=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(結局(2)と同じ式になる)
合成して
\(\sqrt{2}\sin(2x+45°)\)\(=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\sqrt{2}\sin(2x+45°)\)\(=\displaystyle\frac{1}{2}\)
\(45°<2x+45°<405°\) より
\(2x+45°\)\(=150°,390°\)
したがって
\(x=52.5°\) \(,172.5°\)
以上になります。お疲れ様でした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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