素数や合成数について学んでいきます。
・素数と合成数
\(2\)以上の自然数で、その数自身と\(1\)以外に正の約数を持たない数を素数といいます。例えば、\(2,3,5,7\)\(,31,107\)などです。素数の正の約数は2個です。
また、\(2\)以上の自然数で、素数でない数を合成数といいます。例えば、\(4,10,\)\(69,121\) などです。合成数は2つ以上(同じ数でも構わない)の素数の積で表すことができます。(例えば、\(4=2×2\) \(69=23×3\))
なお、1は素数でも合成数でもありません。
自然数は、1と素数と合成数の3種類に分類できます。
・素数の性質
①素数は\(2\)を除けば、すべて奇数です。2より大きい偶数は約数2を持つため素数とはならないからです。\(2\)は素数の中で唯一の偶数となります。
②素数\(p\)の約数(負の値も含む)は、\(p,1,-p,-1\) だけです。
③素数\(p\)は、\(p\)より小さい\(2\)以上の自然数 \(2,3,4\)\(・・・,p-1\)で割り切れない。(定義より明らかです)
(\(p\)は \(1,2,3・・・,p-1\)と互いに素であるとも表現されます。)
④素数は無数にある。
(証明)
<有限個しかないと仮定して、背理法で示します。>
素数が有限個しかないと仮定し、\(p\)を最大の素数とする。それらを小さい順に並べると、
\(2,3,5,7・・・,p\) となる。
ここで、これらの数を使って
\(M=(2×3×5×7・・・×p)+1\)
を考えると、\(M\)は\(p\)より大きい数なので、素数ではない。よって\(M\)は合成数であり、素数のいずれかで割り切れることになる。しかし、\(M\)を有限個のどの素数で割っても、1余る。したがって、\(M\)が合成数であることに矛盾。
ゆえに、素数は無数にある。
・合成数の性質
自然数\(n\)が合成数であるとき、\(n\)は\(\sqrt{n}\)以下の素数で割り切れる。
(証明)
<背理法で証明します>
自然数\(n\)が合成数であるとき、\(n\)は少なくとも2つの素因数\(p,q\) (\(2≦p≦q\), \(pq≦n\))をもつ。
ここで、素数\(p,q\)がともに\(\sqrt{n}\)より大きいとすると、
\(p>\sqrt{n}\), \(q>\sqrt{n}\)
すると、\(pq>n\) となり、矛盾。
よって、素数\(p,q\)の一方は\(\sqrt{n}\)より小さく、題意が示された。
(\(n=33=11×3\)) より、\(5<\sqrt{33}<6\) だから、\(3\)が\(\sqrt{n}\)以下の素数。\(11\)は\(\sqrt{n}\)より大きいです。
演習です。
(例題)
次の数は、素数であるか合成数であるか答えよ。
①237
②379
③9991
(解答)
①2+3+7=12 より、237は3の倍数である。よって合成数。
②379は、2,3,5で割り切れない。
また、\(19<\sqrt{379}<20\) より、7,11,13,17で割り切れるか調べると、いずれの数でも割り切れない。よって素数。
③9991は、2,3,5で割り切れない。
また、\(99<\sqrt{379}<100\) より、97で割り切れるか調べると、
\(9991=97×103\) であり、割り切れる。よって、合成数。
\(9991=10000-9\)
\(=100^2-3^2\)
\(=(100+3)(100-3)\)
\(=103×97\)
となり、合成数であることが分かります。
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。