実験的解法と倍数

問題文の条件を素直に式として表しても解くことができますが(別解参照)、
\(n\)に具体的に\(1,2,3・・・\)と代入してみて(実験してみて)、条件に適するものを探る方法を紹介します。難しい問題になるほど、この試しに代入してみるという方法が有効になることがあります。

代入してみても分かりますが、\(n^2-7\) というのは2次式なので、\(n\)を大きくすると、\(n+7\) と \(n+1\) に比べてどんどん大きくなってしまうので、条件に合わなくなります。
\((n^2-7)-(n+7)=n(n-1)-14\) は、\(n=4\) のとき負、\(n=5\)のとき正の値なので、\(n≦4\) のときと、\(n≧5\) のときで場合わけします。

左辺の\(n\)を消去するイメージで①ー②をします。
すると、左辺が\(6\)、右辺が (整数)×(整数) の形になり、
因数分解型の整数問題になります。

\(k-l\),\(n^2-7\) は整数なので、掛けて\(6\)になる整数はかなり限られます。
その組み合わせは、
\((k-l,n^2-7)=\)\((±6,±1),(±1,±6)\)\((±2,±3),(±3,±2)\)
\(n^2-7\) がこれらの値になるときに、\(n\)が正の整数となるものを絞りましょう。

最後に\(n=1,2,3\) がちゃんと条件に合うか確かめます。(十分性の確認)
確かめる必要がある理由は
(1)\(k,l\) が整数になっているか分からない。(\(k,l\)が整数でなくても、\(k-l\)が整数となることはあります。2.5-1.5 など)
(2)③が成り立つからといって、①②が成り立つとは限らない
からです。(2)については仮に①②が
\(n+8=k(n^2-7)\)・・・①’
\(n+2=l(n^2-7)\)・・・②’
となっていても③が導かれるので、③ならば①かつ②　とは必ずしもいえないことになります。