整数は、ある正の整数で割った余りについて分類することができます。
・余りによる整数の分類(剰余類)
すべての整数は偶数と奇数に分類され、整数\(k\)を用いると偶数は\(2k\)、奇数は\(2k+1\) と表すことができるのはよいと思います。これは除法の余りについて考えると、どんな整数でも\(2\)で割ると余りが\(0\)か\(1\)なので、整数の除法より、どんな整数も \(2k,2k+1\) のいずれかで表すことができるということになります。
同様に考えると、どんな整数も\(3\)で割ると余りが\(0,1,2\) なので、
\(3k,3k+1,3k+2\) に分類することができます。
一般的に、正の整数\(m\)について、どんな整数も\(m\)で割った余りに着目して
\(mk,mk+1,mk+2,\)\(・・・,mk+(m-1)\)
のいずれかに分類することができます。
(例題1)
\(a,b,a-b\)がどれも\(3\)で割り切れないとき、\(a^3+b^3\)は\(9\)で割り切れることを証明せよ。ただし\(a,b\)は整数とする。
\(a-b\) が \(3\)で割り切れないので、例えば\(a=3k+1\) のとき、\(b\)は\(3l+2\) と表すことができます。(\(b=3l+1\)だと\(a-b\)が\(3\)の倍数になり不適)
\(a=3k+1,3k+2\) (\(k\)は整数) と表せる。
\(b\)も同様に、\(b=3l+1,3l+2\) (\(l\)は整数) と表せるが、
\(a-b=3k+1-(3l+1)=3(k-l)\) で、\(a-b\)が\(3\)の倍数になり不適
(ア)\(a=3k+1\),\(b=3l+2\) のとき
\(a^3+b^3\)
\(=(3k+1)^3+(3l+2)^3\)
\(=27k^3+27k^2+9k+1\)\(+27l^3+54l^2+36l+8\)
\(=9(3k^3+3k^2+k\)\(+3l^3+6l^2+4l+1)\)
\(=9M\)
(ア)で\(k,l\)を入れ替えたものを考えればよいので
\(a^3+b^3\)
\(=(3k+2)^3+(3l+1)^3\)
\(=9(3l^3+3l^2+l\)\(+3k^3+6k^2+4k+1)\)
\(=9N\)
それぞれ\(n\)を\(2,3,4\)で割った余りで分類して考えます。
(ア)\(n=2k\) (偶数)のとき
\(n^2=4k^2\) だから 余りは\(0\)
(イ)\(n=2k+1\) (奇数)のとき
\(n^2=2(2k^2+2k)+1\) だから 余りは\(1\)
\(n^2=9k^2\) だから 余りは\(0\)
\(n^2=3(3k^2+2k)+1\) だから 余りは\(1\)
\(n^2=3(3k^2+4k+1)+1\) だから 余りは\(1\)
余りは\(2\)にはなりません。
証明は例題2を参照してください。
(1)\(n\)を自然数とする。このとき\(n^2\)を\(4\)で割った余りは\(0\)か\(1\)であることを証明せよ。
\(a^2+b^2=c^2\)
(解答)
(1)
①\(n=4k\) (\(k\)は自然数) のとき
\(n^2=16k^2\) より、余りは\(0\)
②\(n=4k+1\) (\(k\)は\(0\)以上の整数) のとき
\(n^2=4(4k^2+2k)+1\) より、余りは\(1\)
③\(n=4k+2\) (\(k\)は\(0\)以上の整数) のとき
\(n^2=4(4k^2+4k+1)\) より、余りは\(0\)
④\(n=4k+3\) (\(k\)は\(0\)以上の整数) のとき
\(n^2=4(4k^2+6k+2)+1\) より、余りは\(1\)
以上より、\(n^2\)を\(4\)で割った余りは\(0\)か\(1\)である。
(2)
\(a,b\)の両方が奇数であると仮定して矛盾を示します。(背理法)
ここで(1)の\(4\)で割った余りに着目します。
\(a,b\)が奇数だと、左辺は(1)の②④から\(a^2\)と\(b^2\)をそれぞれ\(4\)で割ったときの余りは\(1\)なので、\(a^2+b^2\)を\(4\)で割った余りは、\(1+1=2\) です。一方\(c^2\)を\(4\)で割った余りは\(0,1\)なので、\(a^2+b^2≠c^2\) となり矛盾が示せます。
すると(1)の②④より、\(a^2\),\(b^2\)をそれぞれ\(4\)で割った余りは\(1\)
よって、
\(a^2=4M+1\), \(b=4N+1\) (\(M,N\)は\(0\)以上の整数)
と表せるので
\(a^2+b^2\) を\(4\)で割った余りは\(2\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。