1/6公式, 1/12公式

上端と下端が、(被積分関数)=0 の解になっている場合の積分について見ていきます。

・1/6 公式
異なる2つの実数解 \(x=α,β\) をもつ2次方程式 \((x-α)(x-β)=0\) について
下端と上端が2解、被積分関数がこの2次式の定積分の値は次の通りです。

\(\displaystyle\int_{α}^{β}(x-α)(x-β)dx=\)\(-\displaystyle\frac{1}{6}(β-α)^3\)

(証明)
(\(x=α\) を代入すると0になるところがポイントです)

\(\displaystyle\int_{α}^{β}(x-α)(x-β)dx\)
\(=\displaystyle\int_{α}^{β}(x-α)(x\color{blue}{-α+α}-β)dx\)
\(=\displaystyle\int_{α}^{β}(x-α)^2dx-(β-α)\displaystyle\int_{α}^{β}(x-α)dx\)
\(=\left[\displaystyle\frac{1}{3}(x-α)^3\right]_{α}^{β}-(β-α)\left[\displaystyle\frac{1}{2}(x-α)^2\right]_{α}^{β}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{3}(β-α)^3-\displaystyle\frac{1}{2}(β-α)^3\)
\(=\displaystyle\frac{1}{6}(β-α)^3\)

(例題1)次の定積分を計算せよ。
(1)\(\displaystyle\int_1^7(7-x)(x-1)dx\)
(2)\(\displaystyle\int_{2-\sqrt{3}}^{2+\sqrt{3}}(x^2-4x+1)dx\)
(3)\(\displaystyle\int_1^7(7-x)^2(x-1)dx\)

(解答)
(1)
\(\displaystyle\int_1^7(7-x)(x-1)dx\)
\(=-\displaystyle\int_1^7(x-1)(x-7)dx\)
\(=-(-\displaystyle\frac{1}{6})(7-1)^3\)
\(=36\)

(2)

\(\displaystyle\int_{2-\sqrt{3}}^{2+\sqrt{3}}(x^2-4x+1)dx\)
\(=\displaystyle\int_{2-\sqrt{3}}^{2+\sqrt{3}}\{x-(2-\sqrt{3})\}\{x-(2+\sqrt{3})\}dx\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{6}(2\sqrt{3})^3\)
\(=-4\sqrt{3}\)

(3)

\(\displaystyle\int_1^7(7-x)^2(x-1)dx\)
\(=\displaystyle\int_1^7(x-7)^2(x-1)dx\)
\(=\displaystyle\int_1^7\{(x-1)-6\}^2(x-1)dx\)
\(=\displaystyle\int_1^7\{(x-1)^2-12(x-1)+36\}(x-1)dx\)
\(=\displaystyle\int_1^7\{(x-1)^3-12(x-1)^2+36(x-1)\}dx\)
\(=\left[\displaystyle\frac{1}{4}(x-1)^4-4(x-1)^3+18(x-1)^2\right]_{1}^{7}\)
\(=\displaystyle\frac{6^4}{4}-4\cdot6^3+18\cdot6^2\)
\(=6^2(9-24+18)\)
\(=108\)

・1/12 公式
(例題1)(3)を一般化すると次のようになります。

\(\displaystyle\int_{α}^{β}(x-α)^2(x-β)dx\)\(=-\displaystyle\frac{1}{12}(β-α)^4\)
より一般化すると\(n\)を自然数として
\(\displaystyle\int_{α}^{β}(x-α)^n(x-β)dx\)\(=-\displaystyle\frac{1}{(n+1)(n+2)}(β-α)^{n+2}\)

\(n\)乗のほうで \(n=2\) とすれば上の1/12積分公式が導かれるので、下の方の証明だけをしておきます。(\(n=1\)とすると 1/6公式 になる)

(証明)
\(\displaystyle\int_{α}^{β}(x-α)^n(x-β)dx\)
\(=\displaystyle\int_{α}^{β}(x-α)^n(x\color{blue}{-α+α}-β)dx\)
\(=\displaystyle\int_{α}^{β}(x-α)^{n+1}dx-(β-α)\displaystyle\int_{α}^{β}(x-α)^ndx\)
\(=\left[\displaystyle\frac{(x-α)^{n+2}}{n+2}\right]_{α}^{β}-(β-α)\left[\displaystyle\frac{(x-α)^{n+1}}{n+1}\right]_{α}^{β}\)
\(=\displaystyle\frac{(β-α)^{n+2}}{n+2}-\displaystyle\frac{(β-α)^{n+2}}{n+1}\)
\(=-\displaystyle\frac{(β-α)^{n+2}}{(n+1)(n+2)}\)

この 1/12 公式を使うと(例題1)(3)は

\(\displaystyle\int_1^7(7-x)^2(x-1)dx\)
\(=-\displaystyle\int_7^1(7-x)^2(x-1)dx\)
\(=-\displaystyle\int_7^1(x-7)^2(x-1)dx\)
\(=-(-\displaystyle\frac{1}{12})(1-7)^4\)
\(=108\)

(例題2)次の定積分を計算せよ。
(1)\(\displaystyle\int_1^7x(7-x)(x-1)dx\)
(2)\(\displaystyle\int_{-1}^2(x+1)^2(x-2)^2dx\)

(解答)
(1)

\(\displaystyle\int_1^7x(7-x)(x-1)dx\)
\(=-\displaystyle\int_1^7x(x-7)(x-1)dx\)
\(=-\displaystyle\int_1^7\{(x-1)+1\}\{(x-1)-6\}(x-1)dx\)
\(=-\displaystyle\int_1^7(x-1)^3dx+\displaystyle\int_1^75(x-1)^2dx+\displaystyle\int_1^76(x-1)dx\)
\(=-\left[\displaystyle\frac{1}{4}(x-1)^4\right]_1^7+\left[\displaystyle\frac{5}{3}(x-1)^3\right]_1^7+\left[3(x-1)^2\right]_1^7\)
\(=-\displaystyle\frac{6^4}{4}+\displaystyle\frac{5\cdot6^3}{3}+3\cdot6^2\)
\(=6^2(-9+10+3)\)
\(=144\)

(2)

\(\displaystyle\int_{-1}^2(x+1)^2(x-2)^2dx\)
\(=\displaystyle\int_{-1}^2(x+1)^2\{(x+1)-3\}^2dx\)
\(=\displaystyle\int_{-1}^2(x+1)^2\{(x+1)^2-6(x+1)+9\}dx\)
\(=\displaystyle\int_{-1}^2(x+1)^4dx-\displaystyle\int_{-1}^26(x+1)^3dx+\displaystyle\int_{-1}^29(x+1)^2dx\)
\(=\left[\displaystyle\frac{(x+1)^5}{5}\right]_{-1}^{2}-\left[\displaystyle\frac{3(x+1)^4}{2}\right]_{-1}^{2}+[3(x+1)^3]_{-1}^{2}\)
\(=\displaystyle\frac{3^5}{5}-\displaystyle\frac{3^5}{2}+3^4\)
\(=3^4(\displaystyle\frac{3}{5}-\displaystyle\frac{3}{2}+1)\)
\(=\displaystyle\frac{81}{10}\)

※(例題2)(2)を一般化すると

\(\displaystyle\int_{α}^{β}(x-α)^2(x-β)^2dx\)\(=\displaystyle\frac{1}{30}(β-α)^5\)

(参考)より一般化すると
\(\displaystyle\int_{α}^{β}(x-α)^m(x-β)^ndx\)\(=\displaystyle\frac{(-1)^nm!n!}{(m+n+1)!}(β-α)^{m+n+1}\)

上の\(m=n=2\) の場合の証明は例題と同様になります。下の\(m,n\)乗の公式は数Ⅲの知識が必要なので今回は省略します。

(証明)
\(\displaystyle\int_{α}^{β}(x-α)^2(x-β)^2dx\)
\(=\displaystyle\int_{α}^{β}(x-α)^2\{(x-α)+α-β\}^2dx\)
\(=\displaystyle\int_{α}^{β}(x-α)^2\{(x-α)^2+2(α-β)(x-α)+(α-β)^2\}dx\)
\(=\displaystyle\int_{α}^{β}\{(x-α)^4-2(β-α)(x-α)^3+(β-α)^2(x-α)^2\}dx\)
\(=\left[\displaystyle\frac{(x-α)^5}{5}+\displaystyle\frac{-(β-α)(x-α)^4}{2}+\displaystyle\frac{(β-α)^2(x-α)^3}{3}\right]_{α}^{β}\)
\(=\displaystyle\frac{(β-α)^5}{5}+\displaystyle\frac{-(β-α)^5}{2}+\displaystyle\frac{(β-α)^5}{3}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{30}(β-α)^5\)

以上になります。お疲れ様でした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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