定積分の値の最大・最小値に関する問題について見ていきます。
(例題1)
直線 \(y=ax+b\) が点\((1,1)\)を通り、\(\displaystyle\int_{-1}^{1}(ax+b)^2dx\) の値が最小になるような\(a,b\)の値を求めよ。
(解答)
直線が \((1,1)\) を通るから
\(1=a+b\)
よって
\(b=1-a\)・・・①
\(\displaystyle\int_{-1}^{1}(ax+b)^2dx\)
\(=\displaystyle\int_{-1}^{1}(a^2x^2+2abx+b^2)dx\)
\(=\left[\displaystyle\frac{a^2}{3}x^3+abx^2+b^2x\right]_{-1}^{1}\)
\(=\displaystyle\frac{a^2}{3}(1+1)+ab(1-1)+b^2(1+1)\)
\(=\displaystyle\frac{2}{3}a^2+2b^2\)
\(=\displaystyle\frac{2}{3}a^2+2(1-a)^2\) (①より)
\(=\displaystyle\frac{8}{3}a^2-4a+2\)
(2次式なので平方完成して)
\(=\displaystyle\frac{8}{3}(a-\displaystyle\frac{3}{4})^2+\displaystyle\frac{1}{2}\)
したがって
\(a=\displaystyle\frac{3}{4}\) のとき最小値をとる。
また①より \(b\)\(=1-a\)\(=\displaystyle\frac{1}{4}\)
(例題2)
\(F(a,b)=\displaystyle\int_0^1(x^2+ax+b)^2dx\) の最小値とそのときの定数\(a,b\)の値を求めよ。
(解答)
\(\displaystyle\int_0^1(x^2+ax+b)^2dx\)
\(=\displaystyle\int_0^1(x^4+a^2x^2+b^2+2ax^3+2abx+2bx^2)dx\)
\(=\displaystyle\int_0^1\{x^4+2ax^3+(a^2+2b)x^2+2abx+b^2\}dx\)
\(=\left[\displaystyle\frac{1}{5}x^5+\displaystyle\frac{a}{2}x^4+\displaystyle\frac{a^2+2b}{3}x^3+abx^2+b^2x\right]_0^1\)
\(=\displaystyle\frac{1}{5}+\displaystyle\frac{a}{2}+\displaystyle\frac{a^2+2b}{3}+ab+b^2\)
よって
\(F(a,b)\)
\(=\displaystyle\frac{1}{3}\color{blue}{a^2}+(b+\displaystyle\frac{1}{2})\color{blue}{a}+b^2+\displaystyle\frac{2}{3}b+\displaystyle\frac{1}{5}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{3}\{\color{blue}{a^2}+3(b+\displaystyle\frac{1}{2})\color{blue}{a}\}+b^2+\displaystyle\frac{2}{3}b+\displaystyle\frac{1}{5}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{3}\{a+\displaystyle\frac{3}{2}(b+\displaystyle\frac{1}{2})\}^2-\displaystyle\frac{3}{4}(b+\displaystyle\frac{1}{2})^2+b^2+\displaystyle\frac{2}{3}b+\displaystyle\frac{1}{5}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{3}\{a+\displaystyle\frac{3}{2}(b+\displaystyle\frac{1}{2})\}^2+\displaystyle\frac{1}{4}\color{blue}{b^2}-\displaystyle\frac{1}{12}\color{blue}{b}+\displaystyle\frac{1}{80}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{3}\{a+\displaystyle\frac{3}{2}(b+\displaystyle\frac{1}{2})\}^2+\displaystyle\frac{1}{4}(b-\displaystyle\frac{1}{6})^2-\displaystyle\frac{1}{6^2\cdot4}+\displaystyle\frac{1}{80}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{3}\color{blue}{\{a+\displaystyle\frac{3}{2}(b+\displaystyle\frac{1}{2})\}^2}+\displaystyle\frac{1}{4}\color{blue}{(b-\displaystyle\frac{1}{6})^2}+\displaystyle\frac{1}{180}\)
実数の2乗は\(0\)以上となるから
最小値は \(\displaystyle\frac{1}{180}\)
このとき
\(a+\displaystyle\frac{3}{2}(b+\displaystyle\frac{1}{2})=0\) かつ \(b-\displaystyle\frac{1}{6}=0\)
\(a,b\)について解いて
\(a=-1\), \(b=\displaystyle\frac{1}{6}\)
以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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