部分積分① (log xの積分)

部分積分について見ていきます。

・部分積分法
積の微分から、部分積分法の公式を導くことができます。

\(\{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)・・・①

より
\(f(x)g'(x)=\{f(x)g(x)\}’-f'(x)g(x)\)
が成り立つので、両辺積分すると次の等式が得られます。

部分積分法の等式②が意味することは、一方の式\(g'(x)\)が比較的簡単に積分ができて、\(f(x)\)を微分した際にできる \(\displaystyle\int f'(x)g(x)dx\) が積分計算できる場合には、積の形の積分が計算できるということです。
例えば \(\displaystyle\int x\cos xdx\) では、\(\cos x\)は簡単に積分できて、\(x\)を微分すると定数になるので

\(\displaystyle\int x\cos xdx=x\sin x-\displaystyle\int1\cdot\sin xdx\)
\(=x\sin x+\cos x+C\)

となるわけです。

また、\(\displaystyle\int\log xdx\) のように一見積の形になっていない積分でも、\(\log x\) を微分すると\(x\)の分数関数になることに着目して、\(\displaystyle\int1\cdot\log xdx\) とみることで、次のように積分計算が可能です。

\(\displaystyle\int\log xdx=\displaystyle\int1\cdot\log xdx\)
\(=x\log x-\displaystyle\int x\cdot\displaystyle\frac{1}{x}dx\)
\(=x\log x-\displaystyle\int1dx\)
\(=x\log x-x+C\)

この積分結果は公式として覚えておいてよいでしょう。

ところで、
\(\displaystyle\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\displaystyle\int f'(x)g(x)dx\)
において、\(g'(x)\)からみると\(g(x)\)は原始関数になるので、\(g(x)\)の選び方は定数部分の分だけ無数にありますが、原始関数の1つを\(g(x)\)としたときに、\(g(x)+C\) を原始関数として選ぶと

\(\displaystyle\int f(x)g'(x)dx=f(x)\{g(x)+C\}-\displaystyle\int f'(x)\{g(x)+C\}dx\)
\(=f(x)\{g(x)+C\}-\displaystyle\int f'(x)g(x)dx-C\displaystyle\int f'(x)dx\)
\(=f(x)\{g(x)+C\}-\displaystyle\int f'(x)g(x)dx-C(f(x)+D)\)
\(=f(x)g(x)-\displaystyle\int f'(x)g(x)dx-CD\)
\(=f(x)g(x)-\displaystyle\int f'(x)g(x)dx\)
(\(\displaystyle\int f'(x)g(x)dx\) を計算するとどうせ積分定数がでてくるので、\(CD=0\)としてよい)

となることから、原始関数\(g(x)\)の選び方は何でもよいことになるので、通常は計算が楽になる定数部分が\(0\)であるものを選びます。

(例題)
次の不定積分を求めよ。
(1)\(\displaystyle\int x\sin2xdx\)
(2)\(\displaystyle\int xe^xdx\)
(3)\(\displaystyle\int x\cdot2^xdx\)
(4)\(\displaystyle\int x^4\log xdx \)
(5)\(\displaystyle\int\log(x+2)dx\)

(解答)
以下積分定数を\(C\)とする。
(1)
(\(x\)を微分すると\(1\)になるから)
\(\displaystyle\int x\sin2xdx\)
\(=x(-\displaystyle\frac{1}{2}\cos 2x)-\displaystyle\int1\cdot(-\displaystyle\frac{1}{2}\cos 2x)dx\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{2}x\cos 2x+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\cos 2xdx\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{2}x\cos 2x+\displaystyle\frac{1}{4}\sin 2x+C\)

(2)
(同様に\(x\)を微分する)
\(\displaystyle\int xe^xdx\)

\(=xe^x-\displaystyle\int1\cdot e^xdx\)

\(=xe^x-e^x+C\)

(3)
(同じく\(x\)を微分)
\(\displaystyle\int x\cdot2^xdx\)
\(=x\cdot\displaystyle\frac{2^x}{\log2}-\displaystyle\int1\cdot\displaystyle\frac{2^x}{\log2}dx\)
\(=x\cdot\displaystyle\frac{2^x}{\log2}-\displaystyle\frac{1}{\log2}\displaystyle\int2^xdx\)
\(=\displaystyle\frac{x\cdot2^x}{\log2}-\displaystyle\frac{2^x}{(\log2)^2}+C\)

(4)

\(\displaystyle\int x^4\log xdx \)
\(=\displaystyle\frac{1}{5}x^5\log x-\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{5}x^5\cdot\displaystyle\frac{1}{x}dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{5}x^5\log x-\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{5}x^4dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{5}x^5\log x-\displaystyle\frac{1}{25}x^5+C\)

(5)

\(\displaystyle\int\log(x+2)dx\)
\(=\displaystyle\int1\cdot\log(x+2)dx\)
\(=(x+2)\log(x+2)-\displaystyle\int(x+2)\cdot\displaystyle\frac{1}{x+2}dx\)
\(=(x+2)\log(x+2)-\displaystyle\int1dx\)
\(=(x+2)\log(x+2)-x+C\)

(別解)
\(\displaystyle\int\log xdx=x\log x-x+C\)
より、\(x+2\) の1次の係数が\(1\)であることから、\(x \to x+2\) としてよく
\(\displaystyle\int\log(x+2)dx\)
\(=(x+2)\log(x+2)-(x+2)+C’\)

(\(=(x+2)\log(x+2)-x+(-2+C’)\)
となり、定数部分しかずれていないので、\(-2+C’=C\) とすれば答えは一致する)

次回はもう少し本格的な部分積分を扱いたいと思います。

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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