部分分数分解

部分分数分解について整理します。

 

・部分分数分解(分母が2次式)
\(\displaystyle\frac{1}{x+1}+\displaystyle\frac{1}{x+2}\) を通分して計算すると \(\displaystyle\frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}\) となりますが、逆に

\(\displaystyle\frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}=\displaystyle\frac{1}{x+1}+\displaystyle\frac{1}{x+2}\)・・・①

と変形する操作を部分分数分解とよびます。

ここで、\(\displaystyle\frac{x+2}{x+1}\) や \(\displaystyle\frac{x^2}{x+1}\) のような (分子の次数)≧(分母の次数) となっている過分数は、帯分数に直すことにより(割り算などをすればよい)、それぞれ \(1+\displaystyle\frac{1}{x+1}\)、\((x-1)+\displaystyle\frac{1}{x+1}\) となるので、以下大前提として (分子の次数)<(分母の次数) として扱っていきます。

まずは、分母が2次式の部分分数分解ですが、①を見て分かるように \(\displaystyle\frac{px+q}{(ax+b)(cx+d)}\) の形をしている分数式は、

\(\displaystyle\frac{px+q}{(ax+b)(cx+d)}=\displaystyle\frac{A}{ax+b}+\displaystyle\frac{B}{cx+d}\)・・・②

の形に変形できそうです。(部分分数分解はどんな分数式でも可能ですが、証明は難しいのでその事実だけ知っておいて、試しに②のように設定して\(A,B\)を求めてみるという感覚でOKです。)

では実際に\(A,B\)を求める方法ですが、2パターン存在します。
②の右辺を通分したら左辺になるので、②は恒等式であることから
(1)整理して係数比較する　(2)適当な数値を\(x\)に何個か代入して\(A,B\)を求める
方法になります。ただし(2)では任意の\(x\)で等式が成り立っていることの確認は必要です。

次に分母が2乗の形になっている、\(\displaystyle\frac{px+q}{(ax+b)^2}\) ですが、分子を \((ax+b)\) で割ることで

\(\displaystyle\frac{px+q}{(ax+b)^2}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{p}{a}(ax+b)-\displaystyle\frac{pb}{a}+q}{(ax+b)^2}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{p}{a}}{ax+b}+\displaystyle\frac{-\displaystyle\frac{pb}{a}+q}{(ax+b)^2}\)

となるので、次のように変形できることが分かります。

\(\displaystyle\frac{px+q}{(ax+b)^2}=\displaystyle\frac{A}{ax+b}+\displaystyle\frac{B}{(ax+b)^2}\)・・・③

 

 

・部分分数分解(分母が3次式)
分母が3次式の場合も、2次式の場合と同様の発想で部分分数分解を行います。

(解説)
(1)
分母が3つの1次式の積の場合は、それぞれの式を分母とした3つの和になります。分子の次数は分母より小さくなるので、分子はすべて定数です。

(2)
分子を\((ax+b)^2\)で割り、余りをさらに\((ax+b)\)で割ることで
\(\displaystyle\frac{px^2+qx+r}{(ax+b)^3}=\displaystyle\frac{A(ax+b)^2+B(ax+b)+C}{(ax+b)^3}\)

\(=\displaystyle\frac{A}{ax+b}+\displaystyle\frac{B}{(ax+b)^2}+\displaystyle\frac{C}{(ax+b)^3}\)

(3)
2つの式(1次式と2次式)を分母とする分数の和になります。
\(\displaystyle\frac{px^2+qx+r}{(ax+b)(cx^2+dx+e)}=\displaystyle\frac{A}{ax+b}+\displaystyle\frac{Bx+C}{cx^2+dx+e}\)
分母が2次式であるときは、分子は1次式以下になるので\(Bx+C\)とおきます。これを定数\(B\)としてしまうと表せる式の幅が減ってしまいます。実際
\(\displaystyle\frac{x}{(x+1)(x^2+1)}=\displaystyle\frac{A}{x+1}+\displaystyle\frac{B}{x^2+1}\)
とおいて、係数比較すると\(A,B\)は求まりません。

(4)
(3)と同じ考えで、まず分母が1次式と2次式である分数の和にすると
\(\displaystyle\frac{px^2+qx+r}{(ax+b)^2(cx+d)}=\displaystyle\frac{A’x+B’}{(ax+b)^2}+\displaystyle\frac{C}{cx+d}\)

さらに\(\displaystyle\frac{A’x+B’}{(ax+b)^2}\)を分解して

\(\displaystyle\frac{px^2+qx+r}{(ax+b)^2(cx+d)}=\displaystyle\frac{A}{ax+b}+\displaystyle\frac{B}{(ax+b)^2}+\displaystyle\frac{C}{cx+d}\)

 

なお、数列の和などでは完全に分解しない部分分数分解も利用されます。例えば(1)のケースだと2個ずつの積にして
\(\displaystyle\frac{1}{(x+1)(x+2)(x+3)}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2}}{(x+1)(x+2)}+\displaystyle\frac{-\displaystyle\frac{1}{2}}{(x+2)(x+3)}\)

と変形することもあります。

 

 

 

(例題)
次のそれぞれの分数式を完全に部分分数分解して、3つの式の和にしなさい。
(1)\(\displaystyle\frac{1}{x^2(2x+1)}\)
(2)\(\displaystyle\frac{2x+6}{(x+1)^2(x^2+3)}\)

 

(解答)
(1)
\(\displaystyle\frac{1}{x^2(2x+1)}=\displaystyle\frac{A}{x}+\displaystyle\frac{B}{x^2}+\displaystyle\frac{C}{2x+1}\)
とおく。

右辺を通分して整理すると
\(\displaystyle\frac{1}{x^2(2x+1)}=\displaystyle\frac{(2A+C)x^2+(A+2B)x+B}{x^2(2x+1)}\)

両辺を比較して
\(2A+C=0\)・・・①
\(A+2B=0\)・・・②
\(B=1\)・・・③

①②③より
\(A=-2\)、\(B=1\)、\(C=4\) だから

\(\displaystyle\frac{1}{x^2(2x+1)}=-\displaystyle\frac{2}{x}+\displaystyle\frac{1}{x^2}+\displaystyle\frac{4}{2x+1}\)

(2)
\(\displaystyle\frac{2x+6}{(x+1)^2(x^2+3)}=\displaystyle\frac{A}{x+1}+\displaystyle\frac{B}{(x+1)^2}+\displaystyle\frac{Cx+D}{x^2+3}\)
とおく。

右辺を通分して
\(\displaystyle\frac{2x+6}{(x+1)^2(x^2+3)}=\displaystyle\frac{A(x+1)(x^2+3)+B(x^2+3)+(Cx+D)(x+1)^2}{(x+1)^2(x^2+3)}\)

右辺の分子は
\((A+C)x^3+(A+B+2C+D)x^2+(3A+C+2D)x+(3A+3B+D)\)
となるので

\(A+C=0\)・・・(i)
\(A+B+2C+D=0\)・・・(ii)
\(3A+C+2D=2\)・・・(iii)
\(3A+3B+D=6\)・・・(iv)

(i)~(iv)より
\(A=1\)、\(B=1\)、\(C=-1\)、\(D=0\)

よって
\(\displaystyle\frac{2x+6}{(x+1)^2(x^2+3)}=\displaystyle\frac{1}{x+1}+\displaystyle\frac{1}{(x+1)^2}-\displaystyle\frac{x}{x^2+3}\)

 

 

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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