定積分の基本

定積分の基本についてです。

※詳しくは　→定積分の基礎　を参照してください。
少しだけ触れておくと、\(f(x)\) の原始関数の1つを\(F(x)\)とすると定積分は次のように求めることになります。
\(\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)\)
差をとることで、原始関数の定数\(C\)は消えてしまうので、\(C\)はどのように選んでも定積分の値は変わらないため、通常は定数部分は\(0\)とします。
また、定積分の計算は基本的には不定積分のときと同様ですが、定積分独自の内容もあります。(\(x=\sinθ\) とおく置換や偶関数の定積分、King Property など)

数Ⅱでは主に定積分は面積計算で使いましたが、数Ⅲでは面積、体積、曲線の長さ、極限の計算(区分求積法)などその利用範囲は多彩です。

(例題1)
次の定積分を求めよ。
(1)\(\displaystyle\int_{0}^{1}(e^x+e^{-x})^2dx\)
(2)\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{4}}\cos^2xdx\)
(3)\(\displaystyle\int_{-1}^{0}(x^2-x+\sqrt{x+1})dx\)
(4)\(\displaystyle\int_{2}^{3}\displaystyle\frac{x^2+1}{x(x+1)}dx\)

(解答)
(1)
\(\displaystyle\int_{0}^{1}(e^x+e^{-x})^2dx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{1}(e^{2x}+2+e^{-2x})dx\)
\(=\left[\displaystyle\frac{e^{2x}}{2}+2x-\displaystyle\frac{e^{-2x}}{2}\right]_{0}^{1}\)
\(=(\displaystyle\frac{e^2}{2}+2-\displaystyle\frac{e^{-2}}{2})-(\displaystyle\frac{1}{2}+0-\displaystyle\frac{1}{2})\)

\(=\displaystyle\frac{e^2}{2}+2-\displaystyle\frac{1}{2e^2}\)

(2)
(三角関数の2次式は半角や積和で1次にするのが基本)
\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{4}}\cos^2xdx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{4}}\displaystyle\frac{1+\cos2x}{2}dx\)
\(=\left[\displaystyle\frac{1}{2}x+\displaystyle\frac{\sin2x}{4}\right]_{0}^{\frac{π}{4}}\)

\(=\displaystyle\frac{π}{8}+\displaystyle\frac{1}{4}\)

(3)
\(\displaystyle\int_{-1}^{0}(x^2-x+\sqrt{x+1})dx\)
\(=\left[\displaystyle\frac{1}{3}x^3-\displaystyle\frac{1}{2}x^2+\displaystyle\frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}\right]_{-1}^{0}\)

\(=\displaystyle\frac{2}{3}-(-\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{2})\)

\(=\displaystyle\frac{3}{2}\)

(4)
(分子の次数下げ→分母が因数分解されているので部分分数分解)
\(\displaystyle\int_{2}^{3}\displaystyle\frac{x^2+1}{x(x+1)}dx\)
\(=\displaystyle\int_{2}^{3}\displaystyle\frac{x(x+1)-x+1}{x(x+1)}dx\)
\(=\displaystyle\int_{2}^{3}\{1+\displaystyle\frac{-x+1}{x(x+1)}\}dx\)

(\(\displaystyle\frac{-x+1}{x(x+1)}=\displaystyle\frac{a}{x}+\displaystyle\frac{b}{x+1}\) とおくと、\(a=1\)、\(b=-2\))

\(=\displaystyle\int_{2}^{3}\{1+\displaystyle\frac{1}{x}-\displaystyle\frac{2}{x+1}\}dx\)

\(=\left[x+\log|x|-2\log|x+1|\right]_{2}^{3}\)

\(=(3+\log3-2\log2^2)-(2+\log2-2\log3)\)

\(=1-5\log2+3\log3\)

(例題2)
\(m,n\)を自然数とするとき、次の定積分を求めよ。
\(\displaystyle\int_{0}^{π}\sin mx\sin nx\ dx\)

(i)\(m≠n\) のとき
\(\displaystyle\int_{0}^{π}\sin mx\sin nx\ dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{π}\{\cos(m-n)x-\cos(m+n)x\}dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\left[\displaystyle\frac{1}{m-n}\sin(m-n)x-\displaystyle\frac{1}{m+n}\sin(m+n)x\right]_{0}^{π}\)
\(=0\)
(∵\(m,n\)は自然数(整数)で、\(k\)が整数のとき \(\sin kπ=0\) )

(ii)\(m=n\) のとき
\(\displaystyle\int_{0}^{π}\sin mx\sin nx\ dx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{π}\sin^2 mx\ dx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{π}\displaystyle\frac{1-\cos2mx}{2}\ dx\)　(上の積和の式に \(m=n\) を代入しても同じ式が得られる)

\(=\left[\displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{\sin2mx}{4m}\right]_{0}^{π}\)

\(=\displaystyle\frac{π}{2}\)

以上になります。お疲れさまでした。
ここまで見て頂きありがとうございました。
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